68 
Sechste Vorlesung 
gesetzt ist. Die Funktionen &(x) } &'(%) in diesen Formeln 
sind ganze Funktionen von gleichem, bezw. um 1 geringeren 
Grade wie die Funktion cp(x). Bei der Integration von 0 bis 
x giebt die erste Formel die folgende: 
X 
sin xdx — sin x • 0\x) 
cosx ■ 0(x) -{- 0(0), 
o 
also, so oft 0(0) Null ist, was z. B. eintrifft, wenn cp(x) und 
folglich seine Ableitungen gerader Ordnung also auch G>(x) 
ungerade Funktionen von x sind, 
(10) 
X 
sin xdx = sin# • $>'(x) 
COS X • 0(#) . 
Ebenso ergiebt die zweite Formel, wenn (p(x) und folglich 
seine Ableitungen gerader Ordnung gerade Funktionen, Q'(x) 
also eine ungerade Funktion von x ist, 
X 
(11) J qj(x) cos xdx — sin# • 0(#) -f- cos# • O r (x) . 
o 
Nehmen wir nunmehr an, das für A n ausgesprochene 
Gesetz sei bis zu einem bestimmten Index n hin bestätigt, so 
würde sich finden 
X X 
An-\-t -J xA n cIx =j \xt(x) sin X + x%(x) cos x) dx. 
Ist nun zuerst n eine gerade Zahl, so wäre if>(x) eine 
gerade Funktion vom w ten , demnach xtf>(x) eine ungerade 
Funktion vom (n -f- l) ten Grade, und %(x) eine ungerade 
Funktion (n — l) ten , demnach x%(x) eine gerade Funktion 
n ten Grades. In Anwendung der Hilfsformeln (10) und (11) 
erhielte man also zwei Gleichungen von der Form 
X 
J x^^x) sin xdx = sina; • W'(x) — cos# • ?P(x) 
o 
o 
cos xdx — sin x ■ X(x) -f- cosx • X'(x),