Hermite’s Untersuchung der Zahl e. 
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d. h. nach (3) und (9) folgende Gleichung: 
i 
^»+1 /* 
(15) ^{cc) sin x + %(x) cos# = ^ * / (1 — £ 2 )” cos ^ dz. 
o 
Hierin hat, wenn wir n als gerade Zahl voraussetzen, %(x) 
die Bedeutung einer ungeraden Funktion vom Grade n — 1, 
also die Gestalt 
% (x) = x • X(x 2 ), 
wenn unter X(x 2 ) eine ganze und ganzzahlige Funktion des 
Grades — 1 von x 2 verstanden wird. 
4. Aus der so nach Hermite gegebenen Gleichung (15) 
lassen sich mit Leichtigkeit die Sätze wieder finden, welche 
Lambert und Legendre bezüglich der Zahl 7t aus anderer 
Quelle hergeleitet haben: dass nämlich weder Tt selbst 
noch 7t 2 rational sein kann. 
Denn setzt man 
X(x 2 ) = Ax n ~~ 2 4- A x x n ~ 4 -f- • * • + A n 
2 
und nimmt zunächst an, 7t sei rational, 7t — —, so ergiebt 
die Gleichung (15), wenn darin x — 7t gesetzt wird, 
i 
- *(**) = 2. 4 J0 -**)”' cos 
oder 
(16) 
N 
(4!)• i 
= -4 /(1 — z 2 ) n cos Ttzdz, 
a 1 ■ 2 ■ 3 ■ • • n A v ' 
wenn N eine ganze Zahl bedeutet. Wäre dagegen 7t 2 eine 
rationale Zahl, 7t 2 = —, so fände man auf demselben Wege: 
(17) 
(JLY 
jy' = - • — i(i — 
a 1-2-3 n J ^ } 
cos Ttzdz, 
wo auch N' eine ganze Zahl bedeutet.