Setzt man hierin, was wir uns einmal erlauben wollen 
wie Lambert, ohne die Berechtigung dazu näher zu erläutern, 
statt x, und benutzt die Formel 
cos — 4- i • sin — 
% 1 i 
so entsteht aus den Gleichungen 
x T(ic 2 ) 
cos X = 
mit denen wir jenen Umstand ausdrücken, sogleich auch die 
folgende: 
(— ic 2 ) -j- ¿c - T(— x 2 ) 
oder kürzer 
N(x) 
worin M(x), N(x) zwei ganze Funktionen von x, der Nenner 
insbesondere eine gerade Funktion von x vom Grade 2n ist; 
man findet also auch für die Exponentialfunktion e? 
eine bis zu demselben Grade reichende Annäherung 
mittels einer rational gebrochenen Funktion. 
7. Wenn wir von der besonderen Beschaffenheit der 
Funktionen M(x), N(x) absehen, können wir ganz im all 
gemeinen sagen: Die vorhergehenden Betrachtungen haben die 
Möglichkeit erwiesen, der Funktion e x sich bis zu einem ge 
wissen Grade durch einen rationalen Bruch anzunähern. Dass 
solche Annäherung sogar bis zu einem beliebigen Grade ft hin 
möglich ist, davon kann man sich leicht a priori überzeugen. 
Setzen wir nämlich die Gleichung an: 
M{x) 
mit Vernachlässigung von Potenzen vom Grade grösser als p, 
d. h. 
(22) e • N(x) — M(x) — £ 1 a:‘ ,t + 1 -f- £ 2 a;^+ 2 + ■ 
und wählen die Grade der beiden Funktionen M(x) und N(x) 
gleich m, n resp. Wird für e* seine Reihenentwicklung ein 
gesetzt und die linke Seite der vorigen Gleichung nach 
steigenden Potenzen von x entwickelt gedacht, so muss man,