Bachmann, Irrationalzahlen. 
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Hermite’s Untersuchung der Zahl c. 
f(i+ *) = *'(-*), 
woraus durch ¿-malige Differenzirung 
2™>( 1 -f 0) = (— 1)*' • i™(- z) 
und für 0 — 0 
F«>( 1) = (- 1 y ■ F<*>(0) 
gefunden wird. Nach den Ausdrücken für %(Z), wo jetzt 
Z — 1 ist, wird demnach gewonnen: 
M(x) 1.2.3 ...h . h 1.2.3 ... (h + 1) 
S^h + i " “¿Ä+I ' T ' X h + 2 
. Ä(Ä—1) 1.2 . S .. . (% + 2) . . 1 . 2.3 ... 2 h 
' 1.2 * -^+3 •“ ' ^ä+i > 
und folglich 
M(x) = 1 • 2• 3 • • • 7* • [a* + £ • (h + 1)x h -~ 1 + 
(30) in, n i 
+ (Ä + i) (Ä + 2) - * H f- (* + i) (ä + 2) ... 2 ä] . 
Die so für Af(a:) und A/^#) erhaltenen Ausdrücke (29) 
und (30) lehren, dass nicht nur die Coefficienten dieser 
beiden ganzen Funktionen, sondern auch noch diejenigen der 
Funktionen 
jt / \ N(x) 
“1.2.3 ...h* "W — 1.2.8... Ä 
ganze Zahlen sind; und man findet zunächst aus (28) die 
Gleichung 
i 
-2Ä+1 i 4 
(31) e* • N(#) — M(;r) = 1 2 3 ^ • / eO~^ x ■ z h • (0 — 1) A • d0. 
o 
Aus dieser aber lässt sich ohne Mühe der nach 
Lambert und Legendre aus anderer Quelle von uns 
bereits abgeleitete Satz, dass e* irrational sei, sobald 
der Exponent x eine rationale Zahl ist, wieder 
gewinnen. Denn, wäre im Gegentheil, wenn x rational, 
x — j ist, e* eine rationale Zahl ~, so nähme die vorige 
Gleichung, wie gross h auch gedacht wird, die Form an: 
i 
a • N(#) — b • M.(x) — bx • t ^ - -j- •J e^~ z)x • z h (0 — l) 7i dz 
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