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I;- 
l) fudx,f(*L) dx —fvdx■/(—)dx ■ rl*>. 
Cette équation exprime, comme on voit, une relation entre les quatre intégrales 
fudx, fvdx, f(ff) dx, J dx. M s’agit maintenant de trouver des 
intégrales qui puissent satisfaire à une équation différentielle du second degré. 
Il-y-a plusieurs intégrales qui jouissent de cette propriété, et que nous allons 
considérer successivement. 
I. Soit „ = (* + a > y+ ‘ et 
* l -“(l-*y-P J o X 1 -“ (l-s) l -P 
dy =(v-1 u f' 1 (* +a Y dj: d2 y — f 1 (x + a Y~- l < 1 * 
le signe J*^ dénotant que l’intégrale est prise depuis x = 0 jusqu’à x = 1. 
En différentiant la quantité (x-j-a)"/ . X a (1 — x)P = r par rapport à x, on obtient 
dr — dx (¿r“- 1 (1 — xfp (x-f- a)y~ l (yx (1 — x)-\- a (x-\-a) (1 — x) — fi(x-\- à) x)). 
Or 
yx (1 — x) -f- a (x -}- a) (1 — x) — fi(x -\-a)x 
— 7 (« 2 +«) + («(/?+?') + («+1) («+/)) (#+«) — ( a ~{-p-\-y) (x~i~a) ¿ } 
donc en intégrant entre les limites x=0, x=l, on obtient 
ïl (x+a)y+ 1 dx 
0=- r (a4a). f 1 í^ Y '.'" d - +((¡3+ r )a+(a+ r )(a+l)) f l -^ +a)r - dx ~( u +fi+y)f'^ +a)rya 
J о V < л '> 0 J O x'- a (l-xy- 
De cette équation on tire en divisant par et substituant à la place des 
intégrales leur valeurs en y, 
2j ( x+ T i ˱I\ . ÉL i (T+ 1 ) («+ft+ï) _ v/ __о 
' da* \ a ‘ 1+fl ) da ' a(a + \) d 
Si l’on met à la place de a, fi, y respectivement 1—fi, 1—a, «+/?+/— 
on aura la meme équation, donc 
5) y-r^r^ et y 2 = Г\*+аГ#"* 
sont deux intégrales particulières de cette équation. 
Or p =— — -i——, et par conséquent e~f ] 'R?C.a a +y(l + а)Р+У, 
donc l’équation (0) donne 
■i) ^■^- — yy J dp = c - “T(l + «y +r ■ 
Pour déterminer la quantité constante C soit a—oo, et l’on trouvera facilement