) Le mémoire XV de cette édition. 
ment qui commence le tome III; il est en route maintenant, et ne tardera pas à vous 
parvenir. Je vous l’offre comme un hommage bien dù à vos travaux; ils ajoutent 
beaucoup de prix aux miens, surtout lorsque j’aurai pu en faire entrer une partie dans 
les autres supple'mens que je me propose de publier successivement, si le ciel m’ac 
corde encore quelques années d’existence. J’ai trouvé dans votre lettre du 25 no 
vembre beaucoup de choses qui m’intéressent au plus haut degré, et dont une partie 
se trouve déjà insérée dans le journal de Mr. Crelle. Vous y développez d’une ma 
nière très satisfaisante et très générale la question du nombre des modules dans les 
quels peut être transformé un module, sur laquelle je vous avais demandé des éclair- 
cissemens. Mais le mémoire imprimé sous le n° 30 ayant pour titre Remarques sur 
quelques propriétés générales etc.*) me parait surpasser tout ce que vous avez publié 
jusqu’à présent par la profondeur de l’analyse qui y règne, ainsi que par la beauté 
et la généralité des résultats. Ce mémoire occupe peu de place, mais il contient 
un grand nombre de choses ; il est rédigé en général avec beaucoup d’élégance et de 
concision; s’il eut pu être plus développé, j’aurais préféré que vous eussiez suivi un 
ordre inverse en finissant par les cas les plus généraux. Quoi qu’il et soit je ne 
puis que vous féliciter d’avoir entrepris de vaincre de pareilles difficultés et surtout 
d’y avoir si bien réussi; car quoique je n’aie pas pu me livrer au travail nécessaire 
pour vérifier tous vos résultats, d’autant qu’un pareil travail surpasse les forces d’un 
vieillard presqu’octogénaire, cependant je les ai assez examinés pour être persuadé 
qu’ils sont parfaitement exacts. 
L’article de votre lettre où vous me communiquez quelques résultats de vos re 
cherches sur le développement de la fonction inverse \x en série, à l’aide des deux 
fonctions <yx et fx dont vous faites connaître plusieurs belles propriétés; cet article 
dis-je, a beaucoup de rapport avec ce que M. Jacobi a publié sur les fonctions qu’il 
appelle 0(ÿ, æ 1 ), H(q, .r) (voy. le n° 27 du journal de M. Schumacher an 1828), et 
qui lui ont servi à sommer d’une manière fort élégante, un grand nombre de séries. 
Au moyen de la fonction 0(^r, x), M. Jacobi est parvenu à exprimer par une formule 
très simple la fonction de troisième espèce i-rz nr^—tt—— 0 — dont le pa- 
1 «/ (1 — A 2 sin 2 a sin 2 ç)Acp 1 
rametre —¿ 2 .sin 2 a se rapporte à la forme que j’ai appelée logarithmique, en opposition 
à l’autre forme cot 2 a ou —l+A' /2 sin 2 a que j’ai nommée circulaire. Ainsi les fonc 
tions de la troisième espèce à paramétré logarithmique, sont susceptibles d’être ré 
duites en tables, comme les fonctions de la l re et de la 1 de espèce, puisqu’elles ne 
dépendent que de la fonction 0(ç, x) à deux quantités seulement. Ce résultat de 
M. Jacobi, me paraît une découverte majeure dans la théorie des fonctions elliptiques 
de la troisième espèce surtout si on pouvait en trouver un semblable pour les autres 
fonctions de cette espèce à paramétré circulaire. M. Jacobi a avancé que la chose