A. Sphäroid und Kugel.
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Die in der GAUss’schen Abhandlung (Art. 12 und 13) gegebenen
Reduktionsformeln setzen die angenäherte Kenntnifs der Entfernung R,
der Azimuthe U 1} U % und der Breiten b x , b % voraus. Es ist aber vor-
theilhafter, anstatt von diesen Werthen, von den sphärischen Koordi
naten b 1} l x und b 2 , 4 als den einzigen Gegebenen auszugehen, da diese
Koordinaten nicht nur in der Form bequemer sind, als Azimuth und
Entfernung, sondern man sich auch hinreichend angenäherte Werthe
derselben besonders leicht verschaffen kann* *), und b x und b z ohnehin
gebraucht werden, Der Umstand, dafs die sphärischen Koordinaten
der Dreieckspunkte als gegeben vorausgesetzt werden, ist für den
Fall, wo nur die sphäroidischen bekannt sind, bei der Leichtigkeit des
Überganges von den einen zu den anderen um so unerheblicher, als
es dabei auf einige Sekunden nicht ankommt.
Genauigkeitsangaben. Aus den in § 2 (S. 5) angeführten Gründen § 15.
finden sich nachstehend (in den §§ 17—23) für jede der Reduktionen
verschiedene Formeln gegeben, welche stufenweise von kleinen zu
gröfseren Seiten fortschreiten. Allen Stufen ist dagegen eine und die
selbe Breitenausdehnung des Anwendungsgebiets zugrunde gelegt,
und zwar die von der Tafel I umfafste Zone von i6*/ 3 Breitengraden:
von b — 44 0 20' bis ¿=6i°o', mit der Normalkugelbreite 52°4o'.
Um die Formeln bezüglich ihrer Genauigkeit mit einander ver
gleichen zu können, ist die letztere durch Angabe des Maximalwerthes
der Seitenlänge R zum Ausdruck gebracht, für welchen der Fehler
oder Rest der Formel den Werth von 0,0005 Azimuthsekunden, bezw.
5 Einheiten der neunten Mantissenstelle von log R, nicht überschreiten
kann**), wenn die Mitte der Seite innerhalb der Tafelzone liegt.
Z. B. bei den Formeln 36) für die Azimuthreduktionen 7j — U x
und T x — U z ist angegeben: A = i66 km ; d. h.: diese Formeln liefern
die Azimuthreduktionen mindestens bis auf 0,0005 Sek. genau, wenn
die Dreiecksseite nicht länger als 166 km ist, und ihre Mitte innerhalb
der Tafelzone liegt; ist dagegen R > 166 km , so kann die Fehlergrenze
überschritten werden.
Die Reste der Formeln lassen sich, ebenso wie die letzteren
selbst, durch Reihen ausdrücken, die nach Potenzen von R fort-
Es sei hier noch bemerkt, dafs der Kurvenbogen Q stets an der dem Äquator zu
gekehrten Seite des Gröfstenkreises R liegt, und keinen Wendepunkt besitzt. Aus der ersteren
Eigenschaft ergeben sich in jedem Falle die Vorzeichen der Reduktionen Ti— Ui und T%—¿7 2 .
*) Meistens genügt es, sie aus einer bildlichen Darstellung des Netzes zu entnehmen,
die ohnehin zur Hand sein mufs.
**) Diese Fehlergrenzen entsprechen der Schärfe, womit die Trigonometrische Abtheilung
ihre Hauptdreiecke berechnet (vergl. S. 4).