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CHAPITRE V. 
/(A')</(A) 
de sorte que a v cp v est certainement compris entre deux nombres 
intérieurs à l’intervalle (— i, i). Donc la transformée de a v cp v 
par T -1 , que j’appelle Jv, est une fonction continue finie. Et 
comme a v cp v tend vers ©, fi tend vers f. 
D’autre part, sur un ensemble parfait quelconque, f et © ont 
les mêmes points de continuité. Donc elles sont en même temps 
ponctuellement ou totalement discontinues. Or, la condition pour 
que cp soit limite de fonctions continues est qu’elle soit ponctuelle 
ment discontinue sur tout ensemble parfait. Il en résulte que cette 
condition est aussi valable pour f. Nous pouvons donc énoncer 
le théorème général suivant : 
La condition nécessaire et suffisante pour qu 'une fonction 
quelconque finie ou infinie soit limite de fonctions continues, 
est qu’elle soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble 
parfait. 
V. — Cas particuliers. 
78. Signalons, comme cas particulier, celui des fonctions semi- 
continues. Il est facile de montrer qu’une fonction semi-continue 
est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, en 
étendant la démonstration du n° 48, donnée pour le cas d’un 
ensemble linéaire continu. On en conclut qu’une telle fonction 
est limite de fonctions continues. 
Nous pouvons donner de ce fait une démonstration indépen 
dante de la théorie générale. Nous allons choisir directement les 
nombres ©(A) considérés au n l> 73. Supposons la fonction consi 
dérée semi-continue supérieurement sur l’ensemble parfait P. Nous 
prendrons alors, dans chaque domaine A, ©(A) égal au maximum 
de f dans ce domaine. Je dis que la condition 
(ci) | çp(A) —/(A) | < s 
est vérifiée en chaque point A de P, s étant un nombre positif 
donné. En effet, d’après la définition de la semi-continuité supé 
rieure, on peut trouver une sphère S de centre A telle que, pour 
tout point A' de P intérieur à S, l’on ait