LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES.
12D
Dès que le domaine A contenant A sera contenu dans 2, le
nombre ©(A) sera compris entre /(A) et f(A) + £. On aura donc
f (A) < cp(A) <C,/*( A ) -t-
79. Voici un autre exemple de fonctions limites de fonctions
continues. Considérons une fonction continue d’une variable F(x).
Supposons que cette fonction ait une dérivée, ou même seulement
une dérivée d’un seul côté, à droite par exemple. Ceci veut dire
que le rapport
F (x -\- k) — F(.r)
k
a une limite déterminée, si h tend vers o par valeurs positives.
Soit f {x) cette limite. Je dis que f(x) est une fonction limite de
fonctions continues. (Nous n’excluons pas le cas où cette limite
serait + co ou —oo.) Prenons une suite de nombres positifs ten
dant vers o : /¿ ( , h>, ..., h„, .. .. Posons
F ( .r -t-h„) — F ( r )
: /«(*)■
f,,(x) est continue et tend vers f (x) quand n croît indéfiniment.
80. On démontre qu’une fonction continue f, considérée dans
un domaine borné, peut être approchée d’autant qu’on veut par un
polynôme. Autrement dit, dans un domaine borné donné, il existe,
quel que soit le nombre positif s, un polynôme P tel que l’on a
|/-P|<£.
Ceci posé, je dis que toute fonction limite de fonctions continues
peut être considérée comme la limite d’un polynôme, ou encore
comme la somme d’une série de polynômes, le développement
étant de plus valable pour l’espace G „ indéfini. En effet, consi
dérons une suite de domaines c,, c%, • .., c, v , ... dont chacun est
contenu dans le suivant, et dont toutes les dimensions croissent
indéfiniment. Tout point de G„ finit par être compris dans un de
ces domaines. Prenons une suite de nombres positifs s,, e 2 , ...,
s,,, ... tendant vers o. Prenons une suite de polynômes P,, P 2 , ...,
P/, ... tels que d’une façon générale l’on ait
\M A)-P/(A)|<£,