Full text: Leçons sur les fonctions discontinues

LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES. 
12D 
Dès que le domaine A contenant A sera contenu dans 2, le 
nombre ©(A) sera compris entre /(A) et f(A) + £. On aura donc 
f (A) < cp(A) <C,/*( A ) -t- 
79. Voici un autre exemple de fonctions limites de fonctions 
continues. Considérons une fonction continue d’une variable F(x). 
Supposons que cette fonction ait une dérivée, ou même seulement 
une dérivée d’un seul côté, à droite par exemple. Ceci veut dire 
que le rapport 
F (x -\- k) — F(.r) 
k 
a une limite déterminée, si h tend vers o par valeurs positives. 
Soit f {x) cette limite. Je dis que f(x) est une fonction limite de 
fonctions continues. (Nous n’excluons pas le cas où cette limite 
serait + co ou —oo.) Prenons une suite de nombres positifs ten 
dant vers o : /¿ ( , h>, ..., h„, .. .. Posons 
F ( .r -t-h„) — F ( r ) 
: /«(*)■ 
f,,(x) est continue et tend vers f (x) quand n croît indéfiniment. 
80. On démontre qu’une fonction continue f, considérée dans 
un domaine borné, peut être approchée d’autant qu’on veut par un 
polynôme. Autrement dit, dans un domaine borné donné, il existe, 
quel que soit le nombre positif s, un polynôme P tel que l’on a 
|/-P|<£. 
Ceci posé, je dis que toute fonction limite de fonctions continues 
peut être considérée comme la limite d’un polynôme, ou encore 
comme la somme d’une série de polynômes, le développement 
étant de plus valable pour l’espace G „ indéfini. En effet, consi 
dérons une suite de domaines c,, c%, • .., c, v , ... dont chacun est 
contenu dans le suivant, et dont toutes les dimensions croissent 
indéfiniment. Tout point de G„ finit par être compris dans un de 
ces domaines. Prenons une suite de nombres positifs s,, e 2 , ..., 
s,,, ... tendant vers o. Prenons une suite de polynômes P,, P 2 , ..., 
P/, ... tels que d’une façon générale l’on ait 
\M A)-P/(A)|<£,
	        
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