LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 
Considérons enfin les suites S w , S Wxa , S Wx x : 
i, 2, 3, 4, 
a. 4* 6, 8 » • • • < 
X, 9.X, 3X, 4 X, 
. , • • ) * * ? * * 5 .... 
On aperçoit immédiatement la suite plus croissante 
i. 4, 9, •••, X*, •••, 
que nous noterons S w ;. 
18. Tous les exemples étudiés précédemment, ensembles déri 
vés, points d’un segment, suites d’entiers, présentent ce caractère 
commun que l’ordre relatif des éléments qui y figurent est chaque 
fois parfaitement déterminé. 
Pour l’introduction d’un élément nouveau, nous nous sommes 
placés dans deux sortes de cas. Dans un premier cas, étant donné 
un ensemble d’éléments dans lequel l’un d’eux a un rang supé 
rieur à tous les autres, nous en ajoutons un nouveau qui a un rang 
supérieur à ce dernier. Dans le second cas, étant donné un en 
semble d’éléments dans lequel aucun d’eux n’a un rang supérieur 
à tous les autres, nous en ajoutons un, ayant cette propriété. 
Nous allons généraliser ces considérations et ces méthodes en 
nous plaçant à un point de vue tout à fait général. Les éléments 
des ensembles dont nous nous occuperons dans le présent Chapitre 
sont des êtres mathématiques absolument quelconques, nombres, 
points, fonctions, suites, etc 
Ensembles ordonnés. ■— Etant donné un ensemble d’éléments, 
nous dirons que cet ensemble est ordonné si l’on fait une conven 
tion qui permet de ranger ces éléments dans un certain ordre, de 
telle sorte que : 
i° Etant donnés deux éléments quelconques de l’ensemble, o. et 
6, l’un a un rang inférieur à l’autre, ce que ¡’écrirai, si c est a qui 
a le rang inférieur : 
ci b ou b y* a ; 
2° Etant donnés trois éléments a, b, c, les conditions a ^b, 
b c entraînent a c.