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CHAPITRE II. 
Par exemple : l’ensemble de tous les nombres réels positifs, 
nul et négatifs, constitue un ensemble ordonné si, étant donnés 
deux nombres a et b, on convient de donner le rang inférieur à 
celui qui est plus petit que l’autre. Il en est de même pour 
l’ensemble des nombres rationnels de l’intervalle (o, i), si l’on 
adopte la même convention. 
Nous pouvons aussi ordonner l’ensemble des nombres ration 
nels de l’intervalle (o, i) en rangeant ses éléments en une suite 
correspondant aux nombres entiers o, 1,2, ..., v, ..., ce que l’on 
sait être possible. Pour fixer les idées, nous adopterons l’ordre 
suivant : d’abord o; 1; puis, toutes les fractions irréductibles, 
ayant pour dénominateurs successivement 2, 3, 4> ..., n, ... et 
rangées par ordre de grandeur pour un même dénominateur, c’est- 
à-dire : 
1 1 2 1 3 
Nous pouvons désigner ces nombres dans l’ordre où nous les 
rencontrons, par 
CL CL 2 j • • • ? & il 1 • • • • 
Convenons maintenant, étant donnés deux nombres rationnels 
ai et aj compris entre o et 1, de considérer celui des deux dont 
l’indice est plus petit comme ayant le rang inférieur. Cette con 
vention une fois faite, l’ensemble est ordonné. 
Similitude de deux ensembles. — Nous dirons que deux 
ensembles ordonnés sont semblables s’il existe entre leurs éléments 
une correspondance biunivoque et réciproque telle que l’ordre 
relatif des éléments correspondants soit conservé. Autrement dit : 
Soient deux éléments «, b de l’un correspondant aux éléments a!, 
b' de l’autre. La condition a ~{b entraîne cé b' et réciproquement. 
La loi qui définit la correspondance est dite une application 
d’un des ensembles sur l’autre. 
Deux ensembles semblables à un troisième sont semblables 
entre eux. 
Soient les deux ensembles A, B, semblables à C. Il existe, par 
hypothèse, deux correspondances, l’une entre les éléments de A