LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 29 
et de C, l’autre entre ceux de B et de C, telles que a et b coi'res- 
pondant à c, a' et b' à c\ la condition : c c' entraîne séparément 
a~^a', et b ~{b', et, réciproquement, l’une quelconque de ces 
deux conditions entraîne c ~{c'. Si donc nous faisons correspondre 
entre eux les éléments de A et de B qui correspondent à un même 
élément c de C, b ~{b' entraînera a ~<(a', puisque b -{b' implique 
c-{c' qui implique a-{ci'. Cette correspondance est donc une 
application. 
19. Ensembles bien ordonnés. — Un ensemble supposé or 
donné est dit bien ordonné si tout ensemble contenu dans l’en 
semble donné (y compris l’ensemble donné lui-même), possède 
un élément initial, c’est-à-dire un élément de rang inférieur à tous 
les autres. 
Comme exemple d’ensemble ordonné, mais non bien ordonné, 
on peut citer l’ensemble E des nombres rationnels de l’inter 
valle (0,1), si la convention faite est qu’un élément a un rang- 
inférieur à un autre quand sa valeur est plus petite. Cet ensemble 
est ordonné, mais non bien ordonné. Car, si je considère 1 en 
semble partiel E ; , formé par les nombres de E supérieurs à -» ces 
nombres sont de la forme ~ H- a, a étant rationnel et positif; or, 
quel que soit a, le nombre ^ + 
+ a J et fait partie de E'; E' 
- a un rang- inférieur au nombre 
2 ° 
n’a donc pas d’élément initial, 
donc E n’est pas bien ordonné. 
Comme exemple d’ensemble bien ordonné, citons : une suite 
de points A,, A 2 , ..., A rt , ..., placés sur un segment de droite 
AB, se succédant de façon que tout point soit à la droite du pré 
cédent, et avec la convention ordinale que le rang d’un point 
donné soit supérieur à ceux de tous les points placés à sa gauche. 
De deux points, celui dont l’indice est le plus petit a le rang infé 
rieur. Je dis que tout ensemble partiel aura un élément initial; 
car, étant donné un ensemble d’entiers positifs, il y en a un plus 
petit que tous les autres. 
Etendons cet exemple : Soient les points A t , A 2 , ..., A w , ..., 
A w , A w+) , ..., A w+ ^, h étant un entier déterminé (Jig. io), 
disposés sur AB de-la façon suivante : quel que soit /1, A w+) est à