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CIIAI’ITRIC III.
points, l’ensemble suivant est nul. Réciproquement, si l’un des
dérivés est nul, je dis qu’il existe un dérivé qui possède un nombre
fini de points. En effet, parmi ceux des dérivés de P qui sont nuis,
il y en a un dont l’indice est plus petit que tous les autres. Soit a
cet indice. Je dis (pie a ne peut pas être un nombre de seconde
espèce. Sinon, a serait limite d’une suite a,, a 2 , ..., a v , .... Par
hypothèse, P a >, P a *, ..., P*v, ... contiennent tous des points.
Donc (n° 13), ils ont des points communs. Donc P a , qui est l’en
semble de ces points, n’est pas nul, contrairement à l’hypothèse.
Donc, a est de première espèce et a un précédent, a— i. P a étant
le dérivé de P a_l , P a_l contient un nombre fini de points (’).
Etant donnée une fonction f définie sur un segment AB, si
Vensemble P de ses points de discontinuité est tel qu un de ses
ensembles dérivés P* se compose cVun nombre fini de points,
f est limite de fonctions continues.
Le théorème est démontré pour a = i ; je le suppose démontré
pour tout nombre a' inférieur à a. Je vais montrer qu’il est vrai
pour a. Marquons les points M,, M 2 , ..., Ma dont se compose l )a .
Nous pouvons appliquer le théorème I. Car, dans tout intervalle
de AB ne contenant aucun de ces points, on a P a = o et il existe,
d’après ce qui précède, un nombre cl' inférieur à a, tel que P x a
un nombre fini de points. Donc, dans cet intervalle, ./ est limite
de fonctions continues; il en est de même, d’après le théorème I,
pour l’intervalle entier AB, ce qui démontre la proposition.
II. — Ensembles parfaits non denses.
35. Nous avons défini, dans ce qui précède, des ensembles de
points possédant la propriété suivante : si P est l’un d’eux, les
dérivés de P sont nuis à partir d’un certain indice, lequel est un
nombre des classes I ou 11.
Je dis que toute portion A du segment AB contient une portion a
sur laquelle n’existe aucun point de l’ensemble. Sinon, il exisle-
(‘) On suppose essentiellement que l’ensemble dont on paît est réparti sur un
segment fini.
