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d. h. die Fläche des Rechtecks ab cd = xy ist der algebraischen 
Summe der Drehungen des Rädchens proportional, was zu be 
weisen war. 
Denkt man sich nun an das Rechteck ab cd ein zweites efgh 
angefügt, wie Fig. 341 zeigt und jedes dieser Rechtecke umfahren, 
so gibt der Planimeter offenbar die Summe beider Flächen an. Bei 
diesem Umfahren wurde aber die Linie ef zweimal und zwar in 
entgegengesetzten Richtungen umfahren. Die damit verbundenen 
Drehungen des Rädchens R heben sich folglich auf, da jedesmal der 
Abstand des Berührungspunktes r 0 + y war. Man kann folglich 
die Beschreibung der Linie ef ganz weglassen; thut man dieses aber, 
so bleibt bloss der Umfang abcfgheda der Figur 341 zu umfahren 
übrig, um die Fläche dieser Figur zu finden. Dasselbe findet statt, 
wie viele Rechtecke man auch an einander legt. Da man nun jede 
Figur in Rechtecke so zerlegen kann, dass deren Flächensumme der 
gegebenen Figur gleich ist, und da die Lage der Rechtecke willkühr- 
lich ist, so kann man dieselben auch so eiulegen, dass ihre Seiten 
den Bewegungsrichtungen der Schlitten des Planimeters beziehlich pa 
rallel sind. Zufolge des vorhergehenden Satzes braucht man, um die 
Fläche der ganzen Figur zu ermitteln, nur die treppenförmige Umfangs 
linie bcdfg.... b, welche die Rechtecke begrenzt, zu umfahren. Da 
aber die Breite der Rechtecke beliebig ist und demnach ausserordent 
lich klein genommen werden kann, so wird bei dieser Annahme die 
Treppenlinie mit der eigentlichen Umfangslinie der gegebenen Figur 
zusammenfallen, und deren Inhalt gefunden werden, wenn man ihren 
Umfang umfährt. 
Es kommt also, wenn der Zählapparat unmittelbar den Inhalt 
der Fläche statt der Drehungen des Rädchens angeben soll, nur dar 
auf an, die Flächeneinheit auszumitteln, welche ein Theil des Ziffer 
blattes vorstellt. Diese Ausmittelung ist aber sehr einfach. Denn 
stellt F die Fläche vor, welche einer ganzen Umdrehung des Zei 
gers Z entspricht, so muss in diesem Falle die Summe aller Drehun 
gen = 2 % und daher 
F = 2 r i'j 7i 
seyn. Ist nun das Zifferblatt an seinem Rande in n gleiche Theile 
getheilt, so wird jeder eine Fläche f = '/„ F vorstellen und es drückt 
alsdann die Gleichung 
n f = 2 r r t 71