werden hierauf folgende Werthe substituirt:
sin Oj = a, sin 1" (1 — 1 / fi a t 2 sin-1"),
tg '/ 2 ßi = 'A ßi sin 1" (1 + '/ 12 [i? sin 2 1"),
sin (cp — xp) = v : u,
und wird berücksichtigt, dass die Grösse a in Bezug auf a* selbst
schon von der zweiten Ordnung ist, und dass also sin o = er sin 1"
gesetzt werden darf, da das zweite Glied der Reihe für sin a schon
Grössen sechster Ordnung enthält; so findet man nach kurzer Ent
wickelung :
a = % nv sin 1" (1 — y e a t 2 sin 2 1" -f- 1 / 12 sin 2 V) — *
Nimmt man den Werth von aus der Gleichung (330), setzt
[U p = u 2 = v 2 -j- n 2 = v 2 -f- a t 2 — m 2 , und vollzieht die angezeigten
Operationen und Reductionen, so wird
a = 1 / 2 vn sin 1" [1 — 1 / 12 sin 2 1" (ap -f- 3 m 2 -j- 3 v 2 )] ; (332)
und ■wenn man diese Gleichung wieder logarithmisch ausdrückt und
das constante Product k beizieht:
log g = log ('/ 2 vn sin' 1") — k a( 2 — 3 km 2 — 3 kv 2 . (333)
In gleicher Weise kann man aus den Gleichungen (323) und
(324) die Werthe von % und r, sowie von log % und log r bestim
men; wir überlassen jedoch die Entwickelung derselben dem eigenen
Fieisse des Lesers und setzen bloss die Resultate hieher:
X = Y (1 — y fi dj 2 sin 2 1") (334)
log % — log v — 2 k a/' — 4 k v 2 . . . . (335)
t = '/ 2 mn sin" (1 -f- 5 12 sin 2 1" — ‘/ 2 m 2 sin 2 1" . (336)
log r = log C/ 2 mn sin 1") -f- 5 k d/ 2 — 6 km 2 . (337)
Sind nach den vorausgehenden Gleichungen die Grössen xp, er,
X, x bestimmt, so findet man aus Gleichung (327) die Breite cp 1
aus Gleichung (326) das Azimuth a 1 und aus Gleichung (330) den
Längenunterschied also alle Grössen, welche die vorliegende
Aufgabe als zu suchende bezeichnet.
Die so gefundenen Längenunterschiede, Breiten und Azimuthe
beziehen sich alle auf eine Kugelfläche vom Halbmesser r, während
die mathematische Oberfläche der Erde ein Umdrehungsellipsoid ist.
Es käme also darauf an, zu zeigen, wie die Grössen ¿¿j, cp' und a'
gefunden werden, wenn man ihrer Bestimmung ein Ellipsoid zu
Grunde legte, dessen Dimensionen nach Bessel folgende sind:
