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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
jektion im Funkte M einen Wendepunkt (178), hat hier also die 
Krümmung Null; auch diese Eigenschaft ist charakteristisch 
für die geodätische Linie.*) 
Das System der Tangentialebenen, von welchen soeben die 
Rede war, wird durch eine abwickelbare Fläche eingehüllt; es 
ist die der gegebenen Fläche längs G umschriebene Develop- 
pable; in bezug auf G selbst ist es diejenige von den drei 
einer Raumkurve zugeordneten Developpabehi, welche wir in 
195 als rektifizierende Developpable von G bezeichnet haben. 
Sie heiße für den Augenblick I). Da die Oskulations- 
ebene von G in einem Punkte M senkrecht ist auf der Tan 
gentialebene von D in diesem Punkte, so spielt G auf der 
Fläche D ebenfalls die Rolle einer geodätischen Linie. 
Daraus folgt der Satz: Eine geodätische Linie G auf einer 
Fläche F ist auch geodätische Linie auf jener Developpabehi, 
weiche F längs G umschrieben ist. 
Zur Erläuterung diene das folgende einfache Beispiel. 
Auf einer Kugel ist jeder größte Kreis eine geodätische Linie; 
denn die (Haupt-)Normalen eines solchen sind zugleich Nor 
malen der Kugel. Die der Kugel längs eines solchen Kreises 
umschriebene Developpable ist der die Kugel in diesem Kreise 
berührende Zylinder; und auch für diesen Zylinder ist der 
Kreis geodätische Linie, weil seine Normalen zugleich Nor 
malen des Zylinders sind. 
215. Kürzeste Linien. Die kürzeste Verbindungslinie 
zweier Punkte auf einer krummen Fläche ist eine geodätische 
Linie dieser Fläche. 
Um dies zu erweisen**), nehmen wir an, zwei Punkte 
*) Ist C eine auf einer Fläche verzeichnete Kurve, M ein Punkt 
derselben, T die Tangentialebene der Fläche in diesem Punkte, JT die 
orthogonale Projektion von C auf 1\ so nennt man die Krümmung von 
F in M die geodätische Krümmung von C in M auf der betreffenden 
Fläche. Hiernach kann eine geodätische Linie auch als eine solche der 
Fläche aufgeschriebene Kurve definiert werden, deren geodätische Krüm 
mung im ganzen Verlaufe Null ist. Diese Definition läßt die Linie am 
deutlichsten als das Analogon der Geraden auf einer krummen Fläche 
hervortreten. 
**) Ein zweiter Beweis dieses Satzes wird in der Variationsrechnung 
gegeben werden.