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Huygens. 
Verhältnisse gröfser ist als die Fläche des Kreises. 
Und wenn auch dieser Satz unter denjenigen, welche ich be 
weisen will, als der schwierigste und beachtenswerteste erscheint, 
so gieht es doch noch andere, welche nicht nur genaueres 
leisten, sondern sich auch namentlich in der Anwendung als 
noch brauchbarer erweisen; ich will dieselben aber nicht hier 
im voraus aufzählen, weil man sie in der Folge besser wird 
verstehen können. Dagegen wird es nützlich sein kurz aus 
einanderzusetzen, inwiefern diese Sätze dem Studium der Geo 
metrie förderlich sind, um so mehr als sie sich durch ihre 
Brauchbarkeit in nicht geringem Grade empfehlen. Da ich 
nun eine doppelte Bearbeitung des Stoffes vorgenommen habe, 
insofern ich zunächst dasjenige behandle, dessen Beweis sich 
nur auf die gewöhnlichen Elemente der Geometrie stützt, 
und darauf auch die Theorie der Schwerpunkte anwende, so 
wird man denn in dem ersten Teile auseinandergesetzt finden, 
auf welche Weise nicht nur für die ganze Kreisperipherie, 
sondern auch für einen beliebig gegebenen Bogen eine gleich 
lange gradlinige Strecke bestimmt werden kann; und zwar 
durch ein für mechanische Konstruktionen leicht anwendbares 
Verfahren, welches selbst bei den feinsten derselben in keiner 
Weise versagt. Durch dieses Verfahren kann, wenn wir zur 
numerischen Berechnung übergehen, das Verhältnis der Kreis 
peripherie zum Durchmesser, welches Archimedes aus Poly 
gonen von 96 Seiten ermittelt hat, in gleicher Weise durch 
Benutzung nur eines Zwölfecks gewonnen werden. Während 
aber ferner aus Polygonen von 10800 Seiten sich denjenigen, 
welche den alten Weg einschlagen, für die Peripherie kaum 
die Grenzen 62831852 und 62831855 ergeben, bei einem 
Durchmesser von 20 000 000 Teilen, gehen, wie man erkennen 
wird, nach unserer Methode die Grenzen 6283185307179584 
und 6283185307179589 hervor; überhaupt gewinnt man allemal 
gerade die doppelte Anzahl der richtigen Stellen, gleichgültig 
wie viele Seiten die zur Berechnung benutzten Polygone be 
sitzen. Ich habe übrigens erkannt, dafs dies auf einem ganz 
bestimmten Grunde beruht, ebenso wie auch das Quadrat einer 
Zahl meistens doppelt soviele Stellen enthält wie die Zahl 
selbst. Noch gröfsere Vorteile aber giebt eine Eigenschaft