§16. Lehrsatz XII. 
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schneidet und die in dein anderen Endpunkte des Durch 
messers gezogene Tangente trifft, so schneidet diese 
Linie ein Stück der Tangente ab, welches gröfser ist als 
der anliegende, auf dem Kreise ahgeschnittene Bogen. 
Es sei ein Kreis beschrieben mit dem Mittelpunkte C und 
dem Durchmesser AB. Man verlängere den letzteren über A 
hinaus und passe zwischen diese Verlängerung und die Kreis 
peripherie die dem Radius AC gleiche Strecke ED ein. Die 
Verlängerung derselben schneide die Peripherie in F und treffe 
in Cr die Tangente, nämlich diejenige, welche den Kreis in 
dem Endpunkte В des Durchmessers berührt. Daun behaupte 
ich, dafs das Stück В Gr der Tangente gröfser sei als der 
Bogen BF. 
Man ziehe nämlich durch den Mittelpunkt die Gerade HL, 
parallel zu EG, welche die Kreisperipherie in den Punkten H, 
M, die Tangente B G 
aber in L treffen möge. 
Ferner ziehe man die 
Verbindungslinie DH, 
welche den Durchmes 
ser in K schneide. 
Dann sind die Drei 
ecke EDK und CHX 
ähnlich, da ihre Win 
kel bei K einander 
gleich sind und der 
Winkel E gleich dem 
Winkel C ist. Es ist 
aber auch die Seite ED gleich der Seite HC und diese Seiten 
spannen gleiche Winkel. Daher ist auch die Seite DK gleich 
der Seite KH. Folglich halbiert CA die Linie DH und ebenso 
den Bogen DAH. Der Bogen DH, oder der ihm gleiche 
FM, ist demnach doppelt so grofs wie der Bogen AH. Dieser 
aber ist gleich dem Bogen MB. Daher wird der Bogen FB 
dreimal so grofs sein wie der Bogen AH. Da andererseits 
HK der Sinus des Bogens HA und LB die Tangente des 
selben ist, so werden zwei Drittel von HK, vermehrt um ein 
Drittel von LB, zusammen gröfser sein als der Bogen AH 
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Fig 15.