§16. Lehrsatz XIII. 
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die beiden Winkel HEA und KEB zusammen gleich einem 
Rechten sein. Aber auch die beiden Winkel H und HKB 
bilden zusammen einen Rechten, weil ja in dem Dreiecke HKB 
der Winkel B ein Rechter ist. Zieht man daher beiderseits 
Gleiches ab, nämlich von hier den Winkel H, von dort den 
Winkel HEA, so bleiben die einander gleichen Winkel KEB 
und HKB übrig. Folglich ist das Dreieck KBE gleich 
schenklig und die beiden gleichen Seiten desselben sind EB 
und BK. Es ist aber BD gleich EG. Also ist DK gleich 
dem Unterschiede, um welchen BE gröfser ist als EG. Da 
sich ferner AG zu AE verhält wie AE zu AB, so werden 
AG und AB zusammengenommen gröfser sein als das Dop 
pelte von AE (Euklid V., 25). Also ist AE, oder AH, klei 
ner als die Hälfte der Summe von AG und AB, d. h. klei 
ner als AG, vermehrt um die Hälfte von AG. Nimmt man 
daher beiderseits CA weg, so wird CH kleiner sein als die 
Hälfte von AG. CA aber ist gröfser als die Hälfte von AG. 
Fügt man daher AC zu AG, so wird die ganze Strecke CG 
gröfser sein als das Dreifache von CH. Da sich aber HG zu 
GE verhält wie ED zu DK und ferner GE zu GC wie LD 
zu DE, so folgt aus der Vergleichung dieser Verhältnisse, 
dafs HG zu GC sich verhält wie LD zu DK, woraus durch 
Umwandlung hervorgeht, dafs GC zu CH sich verhält wie 
DK zu KL. Daher ist auch DK gröfser als das Dreifache 
von KL. Es war aber DK der Überschufs von EB über EG. 
Folglich ist KL kleiner als der dritte Teil dieses Überschusses.