§ 19. Lehrsatz XVI. 
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fache von GH. Das Verhältnis von GJ zu GH, d. h. von 
BA zu AM, ist aber, wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke 
BAM und BDN, dasselbe wie dasjenige von BD zu DN. 
Daher verhält sich auch OH zu HJ wie zehn Drittel der Summe 
von BD und DN zu dem Doppelten von BD, vermehrt um 
das Dreifache von DN, d. h. wie zehn Drittel von NC zu dem 
Durchmesser EC, vermehrt um das Dreifache von DN Kleiner 
aber als dieses letztere Verhältnis ist nach dem Vorhergegangenen 
das Verhältnis des Segmentes AEB zu dem Dreiecke AEB. 
Daher ist dieses Verhältnis des Segmentes zu dem Dreiecke auch 
kleiner als das Verhältnis von OH zu HJ, d. h. kleiner als 
das Verhältnis des Dreieckes OHL zu dem Dreiecke JHL. 
Das Dreieck JHL aber ist gleich dem Dreiecke AEB, was 
folgendermafsen bewiesen wird. Das Dreieck GHL nämlich 
ist gleich dem Dreiecke DAB, weil ihre Grundlinien und 
Höhen wechselseitig gleich sind. Aus ähnlichem Grunde, näm 
lich weil GJ gleich AB ist, wird das Dreieck GJL gleich 
der Summe der beiden Dreiecke DAE und DBE, d. h. gleich 
dem Vierecke DAEB, sein. Daher mufs das Dreieck HJL 
dem Dreiecke AEB gleich sein, wie behauptet wurde. Es 
wird also auch das Segment AEB zu dem ihm eingeschriebenen 
Dreiecke AEB ein kleineres Verhältnis haben als das Dreieck 
OHL zu demselben Dreiecke AEB. Folglich ist das Dreieck 
OHL gröfser als das Segment AEB und daher das ganze 
Dreieck OGL gröfser als der Sektor DAEB. Die Höhe des 
Dreieckes GLO aber ist gleich dem Radius DB. Also ist die 
Basis GO gröfser als der Bogen AB, w. z. b. w. 
Hieraus aber ergiebt sich, dafs man auch in bezug auf 
die ganze Kreisperipherie folgenden Satz aussprechen kann: 
Wenn einem Kreise zwei gleichseitige Polygone 
eingeschrieben werden, von denen das eine doppelt so 
viele Seiten zählt wie das andere, und wenn man den 
dritten Teil des Unterschiedes der Umfänge zu dem 
Umfange des gröfseren Polygones hinzufügt, so wird 
die hieraus gebildete Summe kleiner sein als die Kreis 
peripherie. Wenn man aber zu demselben gröfseren 
Umfange eine Strecke hinzufügt, welche sich zu dem 
erwähnten dritten Teile des Unterschiedes verhält