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Legendre. 
11* 
B m 
A n -I r . m" 
n ~\ 77- . . 
n 4 etc. 
Es seien ferner C, D, E, etc. unbestimmte Zahlen, der Art, dafs: 
C m 
B n -\ -77- m" 
11 n'” 4 etc., 
D m” ,,, 
~G ~ ~n' r + -, 7r , m 1X 
” + «^+etc. 
und so fort bis ins Unendliche ist. Da die sämtlichen Glieder 
dieser verschiedenen Kettenbrüche kleiner als die Einheit sind, 
so sind nach dem, was soeben bewiesen worden ist, auch die 
BODE 
Werte der Kettenbrüche selbst, d. h. -j-, -g-, , -p , etc. 
kleiner als die Einheit; es ist daher B <Ä, C<.B, D <CG, etc., 
woraus man erkennt, dafs die Zahlenfolge A, B, C, D, E, etc. 
eine bis ins Unendliche abnehmende ist. Die Verbindung der 
Kettenbrüche aber, um die es sich handelt, liefert: 
_ —!?*__ ? woraus sich ergiebt C == mA — nB, 
woraus sich ergiebt D — m'B — n'C, 
r 
pt, woraus sich ergiebt E—m"C—n"D, 
B 
m 
A 
n -f- 
G ’ 
B 
.C 
m' 
B 
n -j- 
n> 
c 
JD 
m" 
G 
n” 4 
E 7 
B 
etc. 
etc. 
Weil nun nach Voraussetzung die beiden ersten Zahlen 
A und B ganze Zahlen sind, so folgt, dafs alle andern G, I), 
E, etc., welche bisher noch unbestimmte Gröfsen waren, gleich 
falls ganze Zahlen sind. Es ist aber ein Widerspruch, dafs 
eine unendliche Zahlenfolge A, B, C, B, E, etc. eine fort 
während abnehmende und gleichzeitig aus ganzen Zahlen zu 
sammengesetzte sei; demi andererseits kann keine der Zahlen 
A, B, 0, D, E, etc. gleich Null sein, weil der gegebene 
Kettenbruch sich bis Unendliche erstreckt und demnach die 
B G D 
Ausdrücke 
A’ B ’ C 
etc. fortwährend einen bestimmten