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Erstes Kapitel.
§ 2. Genaue mathematische Formulierung des Problemes. ^
Bevor wir uns zu einer historischen Übersicht wenden St
über die verschiedenen der Quadratur des Zirkels gewidmeten e i]
Bestrebungen, möge zunächst kurz daran erinnert werden, um W(
was es sich bei diesem Probleme eigentlich handelt. Bezeichnet sk
man den Radius eines Kreises mit r, den Durchmesser des
selben mit d = 2r, seinen Umfang mit u und seinen Flächen- ga
Inhalt mit J, so hat man: in
(1) u = 7t d = 2nr, sc.
(2) J — Ttr 2 = ~ Ttd 2 = y ru, au
insofern 7t das für alle Kreise gleiche Verhältnis des Umfanges
zum Durchmesser bedeutet. Seit der Mitte des letzten Jahr
hunderts weifs man, dafs n sich nicht als das Verhältnis
zweier ganzer Zahlen ausdrttcken läfst, also keine rationale In
Zahl ist. Als Dezimalbruch dargestellt beginnt it mit in
3,141592653589793 .... Es dürfte nicht unnötig sein, darauf do
hinzuweisen, dafs dem Nichtmathematiker die Quadratur des Ai
Zirkels gewöhnlich deswegen als unausführbar erscheint, weil ge
man die Zahl tc numerisch immer nur augenähert, aber nie zu
ganz genau angeben könne. Wir werden später noch auf diese u.
Frage zurückkommen und dann erfahren, inwieweit die Un- an
möglichkeit der Quadratur des Zirkels mit der Irrationalität de
von 7t zusammenhängt. tic
Aus Formel (2) geht die bekannte Thatsache hervor, dafs las
der Inhalt des Kreises dem Inhalte eines Dreiecks gleich- m<
kommt, dessen Grundlinie der Umfang und dessen Höhe der wi
Radius des Kreises ist. Wäre man nun imstande, aus dem de
gegebenen Radius den Umfang zu konstruieren, also die Rekti- di<
fikation des Kreises konstruktiv auszuführen, so könnte man ge
auch jenes Dreieck konstruieren und dieses nach bekannten wt
planimetrischen Vorschriften leicht in ein inhaltsgleiches Qua
drat verwandeln. Umgekehrt müfste, wenn der Kreis durch al
eine Konstruktion in ein inhaltsgleiches Quadrat verwandelt st
werden könnte, auch die konstruktive Herstellung jenes Drei- ke
ecks und folglich auch des Kreisumfanges möglich sein. Man m<
sieht also, dafs die notwendige und hinreichende Bedingung de
