§ 5. Die Griechen. 
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selben, Antiphon und Bryson, beide Zeitgenossen des So 
krates (469—399), in hohem Grade unsere Aufmerksamkeit 
verdienten. Antiphon stellte folgende Überlegung an: Wenn 
mau einem Kreise ein Quadrat eiuschreibt und dann von diesem 
zum regulären Achteck, Sechzehneck u. s. w. übergeht, bis da 
durch der Kreis völlig erschöpft wird, so gelangt man schliefs- 
lich zu einem Vieleck, welches wegen der Kleinheit seiner 
Seiten mit dem Kreise zusammenfällt. Da man aber zu jedem 
Vieleck ein gleichflächiges Quadrat zeichnen kann und der Kreis 
durch ein gleichflächiges Vieleck ersetzt worden ist, so kann 
man auch ein dem Kreise gleichflächiges Quadrat konstruieren*). 
Wenn auch Antiphon dabei übersah, dafs auf diesem Wege 
doch stets nur eine angenäherte Quadratur zu erzielen sei, so 
hat er gleichwohl hiermit „als der erste den völlig richtigen 
Weg betreten und den Flächeninhalt eines krummlinigen 
Raumes zu ermitteln versucht, indem er ihn durch Vielecke 
von immer wachsender Seitenzahl zu erschöpfen (exhaurire) 
suchte“ **). 
Bryson***) ging noch über Antiphon hinaus, indem er den 
eingeschriebenen Polygonen auch die umgeschriebenen hinzu 
fügte und dadurch den Begriff einer unteren und oberen Grenze 
in die Mathematik einführte. 
Von denjenigen Mathematikern, welche vor Archimedes 
das Problem von der Quadratur des Zirkels behandelt und ge 
fördert haben, nimmt Hippokrates von Chios einen hohen 
Rang ein. Dieser Gelehrte, der in der zweiten Hälfte des 5. 
Jahrhunderts in Athen lebte und dort Vorträge über Geometrie 
hielt, hat das erste Lehrbuch der Elemente der Geometrie ver- 
fafst. Mau verdankt ihm ferner den ersten Beweis des Satzes, 
dafs Kreisflächen den Quadraten ihrer Durchmesser proportional 
sind und endlich das erste Beispiel einer wirklichen Qua 
dratur krummlinig begrenzter Flächenräume. Es sind 
dies jene mondförmigen Flächenräume (Menisken), welche unter 
*) Bretschneider, pag. 101, 125. 
**) Hankel, pag. 117. Vergleiche übrigens hiermit auch die von 
Vieta auf Grund der Autiphon’schen Ideen gegebene Darstellung der 
Kreisquadratur (pag. 33—34 dieses Buches). 
***) Siehe Bretschneider, pag. 125 —129.