§ 5. Die Griechen. 
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Da die Abhandlung in dem vorliegenden Buche vollständig 
zum Abdrucke kommt, so können wir uns an dieser Stelle auf 
eine kurze Charakteristik beschränken. Den ersten Satz be 
weist Archimedes indirekt, indem er mittels eingeschriebener 
resp. umgeschriebener Vielecke von hinreichend vielen Seiten 
zeigt, dafs die Annahme, der Kreis sei gröfser resp. kleiner als 
das in Rede stehende Dreieck, jedesmal zu einem Widerspruche 
führt. Der zweite Satz stützt sich auf den dritten, der zu den 
bewunderungswürdigsten mathematischen Leistungen des ganzen 
Altertumes zu rechnen ist. Archimedes bestimmt der Reihe 
nach die Seite des umgeschriebenen Sechsecks, des Zwölfecks, 
des Yierundzwanzigecks, des Achtundvierzigecks und des Sechs- 
undneuuzigecks, ausgedrückt durch den Durchmesser, und zwar 
giebt er mit feinem mathematischen Gefühle das (immer nur 
näheruugsweise bestimmbare) Verhältnis des Durchmessers zur 
Seite des umgeschriebenen Polygones jedesmal etwas zu klein 
an, um für den Umfang des betreffenden Polygones und folg 
lich umsomehr für den Umfang des Kreises eine sichere obere 
Grenze zu gewinnen. Die numerischen Rechnungen, welche 
Archimedes hierbei anzustellen hatte, fordern umsomehr unsere 
Bewunderung heraus, als es sich doch wiederholt um das Aus 
ziehen von Quadratwurzeln handelt, deren Ermittlung zu einer 
Zeit, die mit dem indischen Ziffersystem und der Dezimal- 
bruchrechuung noch unbekannt war, Schwierigkeiten darbot, 
von denen man sich heutzutage nur schwer eine Vorstellung 
bilden kann. 
Um eine untere Grenze für das Verhältnis des Kreisum 
fanges zum Durchmesser festzustellen, bedient sich Archimedes 
der entsprechenden eingeschriebenen Polygone, mit dem Sechseck 
beginnend und mit dem Sechsundneunzigeck abschliefsend. Bei 
diesen Berechnungen aber wählt Archimedes mit derselben be- 
wufsten Sicherheit die auftretenden Quadratwurzelwerte jedes 
mal so, dafs die betreffende Polygonseite etwas zu klein an 
gegeben wird. Auf diese Weise erhält er für den Umfang des 
betreffenden Polygones und folglich umsomehr für den Umfang 
des Kreises eine sichere untere Grenze*). 
*) Weder in der Abhandlung des Archimedes selbst, noch in dem 
Kommentare, welchen Eutokius von Askalon (im 6. Jahrhundert) zn der