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Drittes Kapitel. 
Diese Reihe, welche zugleich das Verhältnis der Kreis 
fläche zu dem Quadrate des Durchmessers darstellt, war von 
Leibnitz im Jahre 1674 mehreren ihm befreundeten Mathe 
matikern brieflich mitgeteilt worden. Im Drucke*) veröffent 
lichte er aber seine darauf bezüglichen Untersuchungen erst 
im Jahre 1682 unter dem Titel „De vera proportione 
circuli ad quadratum circumscriptum in numeris ratio 
nalibus". Obwohl nun diese Leibnitz’sche Reihe die von 
Vieta, Wallis und Brouncker gegebenen Darstellungen an Ein 
fachheit bei weitem übertrifft, so ist sie doch wegen ihrer 
langsamen Konvergenz für die praktische Berechnung der Zahl 
% nicht sehr brauchbar. 
Man kann aber aus der Reihe für artg x andere sehr 
rasch konvergirende Reihen ableiten. Zunächt versuchte man 
dies dadurch, dafs man x = 
Man erhielt dann die Reihe: 
setzte. 
aus welcher man, wenn einmal yauf hinreichend viele De- 
zimalstellen berechnet war, durch successives Dividieren von 
]/~ die Zahl % leicht bestimmen konnte. Als viel vorteil 
hafter aber erwiesen sich die Relationen, die wir heute mit 
dem Namen Additionstheoreme bezeichnen, und die alle 
aus der einen Gleichung entspringen: 
arctg x -f- arctg y = arctg — 
1 xy 
Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung, oder auch 
durch Spezialisieren, erhält man leicht Ausdrücke für 
arctg x -f- arctg y -j- arctg z, 
oder für 2 arctg x, 3 arctg x etc. Derartige Relationen waren 
es nun fast ausschliefslich, mit Hülfe deren die Mathematiker 
*) Acta erud. Lips. pag. 11 u. flg. Mit dem Titel seiner Abhand 
lung wollte aber Leibnitz keineswegs andeuten, dafs der Kreis zu dem 
Quadrate des Durchmessers kommensurabel sei. — In dem gleichen Bande 
befindet sich auch die schöne Näherungskonstruktion von Kochanski.