§ 12. Der Beweis der Irrationalität der Zahl n etc. 
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gest. 1777 als Oberbaurat in Berlin, wohin er von Friedrich 
dem Grofsen berufen worden war) ermöglichte, den ersten Be- 
weis für die Irrationalität der beiden so eng mit einander ver 
bundenen Zahlen e und n beizubringen. In der schönen Ab 
handlung: „Vorläufige Kenntnisse für die, so die Qua 
dratur und Rectification des Circuls suchen“ (Beiträge 
zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung II, pag. 
140—169) bewies Lambert die beiden grundlegenden Sätze: 
1) Ist x eine von Null verschiedene rationale Zahl, 
so kann e x niemals rational sein. Daraus folgt 
dann von selbst, dafs der natürliche Logarithmus einer 
von 1 verschiedenen rationalen Zahl niemals rational 
sein kann. 
2) Ist x eine von Null verschiedene rationale Zahl, 
so kann tg x niemals rational sein. 
Zum Beweise dieser beiden Sätze knüpfte Lambert an die 
von Euler in seiner Introductio L, pag. 319 gegebene Ketten 
bruchentwicklung an; 
e — 1 
O 
um daraus die beiden Kettenbrüche: 
c x — 1 _ 1 
^T+ 1 ”1 + 1 
x T 6 1 
X ^ jo 
und: 
1 
~3 1 
x 5 
x 
x _7 _ 1 
x 9 
— etc. 
x 
abzuleiten und aus diesen, für den Fall, dafs x eine rationale 
Zahl bedeutet, die Irrationalität von e x und tg x zu erschliefsen.