§ 12. Der Beweis der Irrationalität der Zahl tc etc. 
57 
die Zahlen «?, n, m', n', etc. alle ganze positive oder 
negative Zahlen bedeuten und wenn überdies die ein 
zelnen Brüche m , —r, m „ , etc. alle kleiner sind als die 
Einheit, so ist der Wert des Kettenbruches irratio 
nal. Der Kettenbruch hat, wie Legendre weiter zeigte, auch 
dann noch einen irrationalen Wert, wenn jene Einzelbrüche 
m m m e ^ c n j c ]^ sc ] 10 n von Anfang an, sondern erst 
n ’ n 7 n ' ° 
nach einem gewissen Intervalle fortwährend kleiner sind als 
die Einheit. Mit Hülfe dieses wichtigen Satzes, der eine not 
wendige Ergänzung zu den Lambert’schen Untersuchungen bil 
det, konnte dann Legendre leicht die Irrationalität von tc 
strenge nachweisen. Dieselben Entwicklungen liefsen ihn zu 
gleich auch noch die Irrationalität des Quadrates von tc er 
kennen*). 
Mit dem von Lambert und Legendre gegebenen Beweise 
der Irrationalität von tc war in der Frage nach der Möglich 
keit der Quadratur des Zirkels ein bedeutender Schritt vorwärts 
gethan worden. Es war zwar diese Möglichkeit damit noch 
nicht ausgeschlossen, insofern man ja auch gewisse nichtra 
tionale Zahlen mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, aber 
die Wahrscheinlichkeit, das Problem mit diesen Hülfsmitteln 
lösen zu können, war doch eine wesentlich geringere gewor 
den. Die Hauptsache aber war, dafs sich endlich, nach langem 
Suchen, dem Blicke ein deutlich vorgezeichneter Weg eröfihete, 
den die Forschung einzuschlagen hatte. 
Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dafs der in 
den Lehrbüchern gewöhnlich vorgetragene Beweis für die Irra 
tionalität der Zahl e (nach einer in Stainville’s Melanges d’ana- 
lyse algebrique [1815] pag. 339 befindlichen Bemerkung) von 
Fourier (1768—1830) stammt. Dieser Beweis folgert die Ir 
rationalität von e direkt aus der Reihe: 
e =1 + v. + h + H— 
*) Einen anderen Beweis für die Irrationalität von hat Herr Her- 
mite (Grelle, Bd. 76) gegeben.