58 
Viertes Kapitel. 
Angenommen nämlich e sei gleich der rationalen Zahl , so 
O (J ' 
bringe man alle Glieder der Reihe bis einschlieislich ~ auf 
ql 
die linke Seite der obigen Gleichung und multipliziere die 
Gleichung mit ql Dann erhält man links eine von Null ver 
schiedene ganze positive Zahl, rechts dagegen die Reihe: 
i I I I 
2 + 1 • (2 + !) (2 + 2) “r" ’ 
welche einen kleineren Wert als —4- 7 —r 1 —^ d. h. 
einen kleineren als * besitzt und folglich nicht gleich einer 
ganzen positiven Zahl sein kann. 
* 
§ 13. Die Entdeckungen Liouville’s. 
Im Jahre 1840 fügte Joseph Liouville (1809—1882) 
den bisher bekannten Eigenschaften der Zahl e noch zwei 
weitere hinzu, indem er mittels des oben angegebenen Fou- 
rier’schen Verfahrens nachwies, dafs e nicht Wurzel einer qua 
dratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein könne, 
dafs also eine Gleichung von der Form ae 2 -f- he c = 0 
unmöglich sei, wenn a, h, c ganze Zahlen bedeuten. Und er 
konnte sofort hinzufügen, dafs e 2 dieselbe Eigenschaft besitze, 
dafs also unter den gleichen Voraussetzungen für a, 6, c auch 
eine Gleichung von der Form ae 4 -j- be 2 c — 0 nicht be 
stehen könne*). 
Da die von Lambert, Legendre und Liouville gefundenen 
Eigenschaften der Zahlen e und n alle gemeinschaftlich aus 
*) Liouville’s Journal V. (1840) pag. 192 und 193. Siehe auch: 
Stern, Algebraische Analysis, pag. 342—343. Dafs weder e noch c 2 einer 
Gleichung zweiten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten genügt, folgt 
auch ganz direkt ohne weiteren Beweis aus den Kettenbruch entwicklungen 
für e und e 2 (pag. 52). Herr Hurwitz hat in der genannten Abhandlung 
auch noch auf elementarem Wege gezeigt, dafs e nicht Wurzel einer 
ganzzahligen Gleichung dritten Grades sein kann. Man kann also, was 
Herr Hurwitz mit Recht als bemerkenswert hervorhebt, auf ganz ele 
mentare Weise zeigen, dafs e weder Wurzel einer ganzzahligen Gleichung 
ersten, noch zweiten, noch dritten Grades ist.