§ 15. Die endgültige Erledigung des Problems etc. 63
den folgenden, für das Problem von der Quadratur des Zirkels
fundamentalen Satz:
Damit eine Zahl durch Zirkel und Lineal kon
struierbar sei, ist notwendig und hinreichend, dafs
sie sich als Wurzel einer gewissen algebraischen Glei
chung mit rationalen Koeffizienten darstelle, welche
äquivalent ist einer Kette von quadratischen Glei
chungen der bezeichneten Art.
Durch diesen Satz wird der Zusammenhang der Frage nach
der Möglichkeit der Quadratur des Zirkels mit der Frage, ob
7C eine algebraische oder eine transzendente Zahl sei, in das
richtige Licht gesetzt. Damit die Quadratur des Zirkels aus
geführt werden könnte, wäre also nicht nur erforderlich, dafs n
überhaupt eine algebraische Zahl sei, sondern es müfste %
sogar Wurzel einer solchen speziellen algebraischen Gleichung
sein, welche durch Quadratwurzeln aufgelöst werden kann, d. h.
es müfste % selber durch Quadratwurzeln ausdrückbar sein.
Nun haben wir zwar in der Yieta’schen Formel eine Darstel
lung der Zahl it mittels Quadratwurzeln kennen gelernt, aber
die Operation des Wurzelausziehens kommt in dieser Darstel
lung unendlich oft vor, während die Wurzel einer algebrai
schen Gleichung der angegebenen Art selbstverständlich durch
eine endliche Anzahl von Quadratwurzeln ausdrückbar sein
mufs. Die Yieta’sche Formel würde also im Gegenteile eher
zu der Vermutung führen, dafs die Zahl n nicht die zur Aus
führbarkeit der Quadratur des Zirkels erforderlichen Eigen
schaften besitze. Wie dem aber auch sei, jedenfalls würde die
Unmöglichkeit der Quadratur des Zirkels daun aufser allem
Zweifel sein, wenn es sich heraussteilen sollte, dafs die Zahl tc
überhaupt nicht eine algebraische sondern eine transzendente
Zahl ist.
§ 15. Die endgültige Erledigung des Problemes von der
Quadratur des Zirkels durch die Arbeiten von Hermite,
Lindemann und Weierstrais.
Die Entscheidung der fundamentalen Frage, ob die beiden
Zahlen c und n algebraische oder transzendente seien, verdankt
man den Herren Hermite und Liudemanu.
