§ 15. Die endgültige Erledigung des Problems etc. 
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Aber durch den Lindemann’schen Satz, dafs die Zahl % 
transzendeut ist, wird die Frage nach der Quadratur des Zir 
kels in einem unendlich viel weiteren Umfange beantwortet, 
als sie ursprünglich gestellt war: Die Quadratur des Zirkels ist 
nicht nur unmöglich, wenn als konstruktive Hülfsmittel nur 
Zirkel und Lineal zugelassen werden, sie ist auch unausführ 
bar, wenn bei der Konstruktion überhaupt nur algebraische 
Kurven und Flächen zur Anwendung kommen sollen. Denn 
eine Konstruktion mit diesen ganz allgemeinen Hülfsmitteln 
würde zwar nicht mehr wie früher zu einer Kette von qua 
dratischen Gleichungen führen, aber doch immerhin zu einer 
Kette von algebraischen Gleichungen, durch welche dann wieder 
die zu konstruierende Zahl als eine notwendig algebraische be 
zeichnet würde. Jene Möglichkeit ist also für die transzendente 
Zahl n ausgeschlossen. 
Im Jahre 1885 hat dann Herr Weierstrafs, ohne Vor- 
aussetzuug der Hermite’schen Abhandlung, die Lindemanuschen 
Sätze auf einem verhältnismäfsig einfachen Wege, aber mit Bei 
behaltung der leitenden Grundgedanken aufs neue abgeleitet 
und begründet*). 
Zu diesem Zwecke bewies er zunächst mit Hülfe der In 
tegralrechnung den folgenden Satz: 
„Es sei f{£) eine ganze Funktion {n -|- l) ten Grades der Ver 
änderlichen z mit gegebenen ganzzahligen Koeffizienten, die 
so beschaffen sind, dafs die Gleichung 
f(?) = 0 
(n -j- 1) von einander verschiedene Wurzeln hat, welche mit 
? • • • 
bezeichnet werden mögen. Alsdann läfst sich, nach Annahme 
einer beliebig kleinen positiven Gröfse d, auf mannigfaltige 
Weise ein System von (n -j- 1) ganzen Punktionen 
0o 0); 0i 0), ■ • • 0«O) 
des Argumentes # von nicht höheren als dem n ten Grade, deren 
Koeffizienten sämtlich ganze Zahlen sind, so bestimmen, dafs 
erstens jede der Differenzen 
*) Berichte der Berliner Akademie (1885): Zu Lindemann’s Abhand 
lung „Über die Ludolph’sche Zahl“. 
Kudio, Kreismessung. 
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