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Viertes Kapitel. 
/ \ zi / \ (X — 0, 1, ... n\ 
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ihrem absoluten Betrage nach kleiner als d ist, und zweitens 
die Determinante 
|^(^)| 0. » = o, i,...«) 
einen von Null verschiedenen Wert hat.“ 
Da e ni = — 1 ist und die Funktion (f nur für solche 
Werte von x, welche (ungrade) Vielfache von ni sind, den 
Wert — 1 annimmt, so substituierte Herr Weierstrafs dem zu 
beweisenden Satze von der Transzendenz der Zahl n den fol 
genden : 
„Die Gröfse e x -)- 1 hat, wenn x eine algebraische Zahl 
ist, stets einen von Null verschiedenen Wert.“ 
Zum Beweise dieses Satzes wird angenommen, die beliebi«' ge- 
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gebene algebraische Zahl x t sei Wurzel einer Gleichung r ten 
Grades: 
x r -f c i x r ~ 1 -f • • • -f c r = 0, 
deren Koeffizienten sämtlich rationale Zahlen sind. Da voraus 
gesetzt werden darf, dafs r > 1 sei, weil für r = 1 e Xi — e~ Ci , 
also eine positive Gröfse und somit e®* -f- 1 sicher von Null 
verschieden wäre, so hat obige Gleichung aufser X x noch (r — 1) 
andere Wurzeln, die mit x 2 , ... X r bezeichnet werden mögen. 
Mit Benutzung des oben angegebenen Hülfssatzes konnte 
dann Herr Weierstrafs zeigen, dafs das Produkt: 
(e Xi -f- 1) (e x * -fl)... (f r+1 ) 
und somit auch jeder einzelne Faktor desselben einen von Null 
verschiedenen Wert habe, womit bewiesen war, dafs die Zahl 
ni und daher auch n selbst eine transzendente Zahl ist. 
Herr Weierstrafs wendet sich daun in seiner Abhandlung 
zu allgemeineren, auf die Exponentialfunktion sich beziehenden 
Sätzen und beweist namentlich das folgende, von Herrn Linde 
mann aufgestellte Theorem, in welchem die von Herrn Hermite 
begonnenen Untersuchungen über die Exponentialfunktion ihren 
Abschlufs finden: 
„Werden unter x n x 2 , . . . x r irgend r von einander 
verschiedene, unter X 1} X 2 , . . . X r aber beliebige alge 
braische Zahlen verstanden, so kann die Gleichung