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Viertes Kapitel. 
Daraus erhält mau aber einen Satz, der die Unmöglich 
keit der Quadratur des Zirkels nur als einen ganz speziellen 
Fall enthält und die darauf bezüglichen Fragen in gröfster 
Allgemeinheit und Vollständigkeit ahschliefsend beantwortet: 
„Ein Kreisbogen, dessen Sehne, durch den Halb 
messer des Kreises gemessen, eine algebraisch aus- 
drückbare Länge hat, kann nicht durch eine geome 
trische Konstruktion, bei der nur algebraische Kurven 
und Flächen zur Anwendung kommen, rektifiziert wer 
den; eben so wenig ist der zu einem solchen Bogen ge 
hörige Kreissektor durch eine derartige Konstruktion 
quadrierbar.“ 
„Hat nämlich in einem Kreise, dessen Halbmesser als 
Längeneinheit angenommen wird, ein Bogen die Länge x, seine 
Sehne also die Länge 2 sin ~~ und der zugehörige Kreissektor 
den Inhalt — x, so würde, wenn durch eine Konstruktion der 
angegebenen Art der Bogen rektifizierbar oder der Sektor qua 
drierbar wäre, daraus eine algebraische Gleichung zwischen x 
und 2 sin ~ sich ergeben. Eine solche Gleichung existiert 
aber nicht, wenn 2 sin , wie angenommen, eine algebraische 
Zahl ist.“ 
Ein nicht nur durch sein hohes Alter ehrwürdiges, son 
dern auch, vom mathematisch-historischen Standpunkte aus 
betrachtet, höchst merkwürdiges Problem hat durch die Linde- 
mann’schen Untersuchungen seine endgültige Erledigung ge 
funden. Ursprünglich eine rein geometrische Aufgabe von 
verhältnismäfsig untergeordneter Bedeutung, hat sich die Frage 
nach der Quadratur des Zirkels im Laufe der Jahrhunderte zu 
einem arithmetischen Probleme von dem höchsten Interesse 
herausgebildet. Es hat Teil genommen an allen wichtigeren 
Wandlungen, welche die mathematischen Anschauungen und 
Methoden allmählich erfahren haben, es ist mit ihnen und 
durch sie im Laufe der Zeit selbst umgestaltet worden, bis