80
Archimedes.
Man teile ferner den Winkel HAG durch KA in zwei
gleiche Teile. Dann hat AK zu KG ein kleineres Verhältnis
o
als (3661^ zu 240 oder als)*) 1007 zu 66 ; denn diese beiden
sind ** der anderen. Folglich verhält sich AG zu CK (nahezu)
wie 1009— zu 66**).
Man teile noch den Winkel KAC durch LA in zwei
gleiche Teile. Dann hat AL zu LG ein kleineres Verhältnis
als 2016^- zu 66 und AG zu GL ein kleineres als 2017*
zu 66 ***).
AH: HC < (3013^- 4- 291l) : 780 , d. h. < 5924 - : 780
oder < 1823:240. Aus AE 2 : HC 2 < 3323329 : 57600 folgt dann
{All" + HC 2 ) : HG 2 < 3380929 : 57600,
oder
A C 2 : CH 2 < 3380929 : 57600
und daher erst recht
AG : CH < 1838“- : 240 , da (l838^-)" = 3381252^
ist. Damit ist eine obere Grenze für das Verhältnis des Durchmessers
zu der Seite des eingeschriebenen Vierundzwanzigecks gefunden.
*) Die in der Klammer hinzugefügten Worte werden durch den
Zusammenhang gefordert.
**) Aus {GA + AH) : HC = AK: KC folgt
AK : KC < (l838^- + 1823^ : 240, oder < 3661^- : 240,
oder < 1007 : 66. Aus AK 2 : KC 2 < 1014049 : 4356 ergiebt sich dann
{AK 2 + KC 2 ) : KC 2 < 1018405 : 4356, oder AC : CK < 1009y : 66 ,
da (l009—) = 1018417— ist. CK ist die Seite des eingeschriebenen
\ 6 / 36
Achtundvierzigecks.
***) Denn es ist {GA -)- AK) : KC — AL : LG, woraus sich
AL: LC< 2016-J- : 66 ergiebt. Aus 4L s :iC ! < 4064928^ : 4356
6 oo
folgt dann {AL 2 -f- LC 2 ) : LG 2 < 4069284-^- : 4356, oder
AC : CL < 2017-*- : 66, da (20174-V = 4069297--
ist. CL aber ist die Seite des eingeschriebenen Sechsundneunzigecks.
