Fünfter Abschnitt. § 3. 
auf unendlich kleine Gröfsen) konstant sein. Für alle Linien, die 
dieser Voraussetzung genügen, wird das Linienelement ds eine 
Funktion von Xi . . , x n und dx 1? dx 2 . . . dx n sein. 
Die gemachte Voraussetzung ermöglicht es, die Gröfsen 
dx! . . . dx n nach demselben Verhältnis wachsen zu lassen; dem 
nach fordert Riemann, dafs auch die Länge ds des Elementes 
nach demselben Verhältnis wachse. Dieser Forderung genügt man 
durch die Festsetzung, dafs die nffe Potenz des Linienelementes 
eine stets positive Form mten Grades in den Gröfsen dx l? dx 2 .. .dx n 
ist, wo m eine gerade Zahl sein soll. Die einfachste Voraus 
setzung würde demnach sein: 
ds 2 = J£a aß dx a dx b , 
wo die Koefficienten a a6 entweder Konstante oder Funktionen von 
Xi . . . x n sind und wo die rechte Seite nur verschwindet, wenn 
dx x . . . dx n sämtlich gleich null sind, während sie für jede andere 
Wahl von dx x . . . dx n positiv ist, welche Werte von Xi . . . x n 
man auch in die Koefficienten a Qb einsetzt. 
Riemann behandelt nur diese einfachste Annahme und ge 
langt zu einem gewissen analytischen Ausdruck, den er als das 
Krümmungsmafs bezeichnet. Hierauf brauchen wir aber hier nicht 
näher einzugehen; es genüge, auf unsere früheren Darlegungen 
zu verweisen (B. 1. S. 213 ff.). 
Die hier skizzierte Schrift ist für die Mathematik von weit- 
tragender Bedeutung geworden, indem die darin angedeuteten 
Gedanken zu ganz hervorragenden Arbeiten angeregt haben. In 
dessen liegt der Schwerpunkt dieser Arbeiten auf dem Gebiete 
der Analysis. Dabei darf die Wichtigkeit des Riemannschen Vor 
trages für die Geometrie nicht unterschätzt werden, da er erstens 
überaus anregend gewirkt hat und zweitens die Möglichkeit eines 
unbegrenzten, aber zugleich endlichen Raumes gezeigt und die 
Grundeigenschaften jener Raumform angegeben hat, die wir im 
vorliegenden Werke nach Riemann benennen. Diese hohen Vor 
züge der Arbeit dürfen uns nicht hindern, die darin entwickelte 
Grundlage der Geometrie einer sorgfältigen Kritik zu unterziehen. 
1. Auf das Schlufsergebnis des ersten Abschnittes, wonach 
das Wesen einer n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit darin er 
blickt wird, dafs sich die Ortsbestimmung auf n Gröfsenbeziehungen 
zurückführen läfst, will ich nicht ausführlich eingehen. Ich verwaise