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Kapitel II. Affinitäten. 
In diesen drei Fällen kann man die Störung immer dadurch be 
seitigen, daß man das Dreieck PQR einer geeigneten Schiebung unter 
wirft, wodurch es nach P*Q*R* gelangen möge. Dann lassen sich die 
Punkte P*, Q*, R* in P', Q', R' wie vorhin durch die Aufeinanderfolge 
dreier Hauptaffinitäten überführen. 
Da jede Affinität ein Dreieck wieder auf ein Dreieck abbilden muß, so 
können wir aussprechen: 
Jede Affinität läßt sich entweder als Aufeinanderfolge 
dreier Hauptaffinitäten gewinnen oder durch Zusammen 
setzung einer Schiebung mit drei Hauptaffinitäten. 
Hiernach gelten die Sätze 7a und 8a, die bis dahin nur für Haupt 
affinitäten ausgesprochen wurden, und die trivialerweise für Schiebungen 
richtig bleiben (denen man also den Inhaltsmaßstab -f- 1 beilegen muß) 
allgemein für alle affinen Abbildungen: 
Satz 7. Bei jeder Affinität multipliziert sich jeder Inhalt 
mit demselben Faktor, den man den Inhaltsmaßstab der 
Affinität nennen wird. 
Satz 8. Bei jeder Affinität bleibt das Inhaltsverhältnis 
invariant. 
§ 29. Eindeutigkeitsbeweis. 
Der Hauptsatz ist jetzt bewiesen, insofern es gewiß Affinitäten gibt, 
die die Ecken des Dreiecks PQR der Reihe nach in die Ecken des Dreiecks 
P'Q'R' überführen. Zu zeigen bleibt noch, daß es nur eine einzige 
affine Abbildung dieser Eigenschaft gibt. Es ist das nicht selbstverständ 
lich, da wir die komponierenden Hauptaffinitäten ja in anderer Reihen 
folge hätten ausführen können, und da im Sonderfall auch noch die 
Schiebung recht willkürlich gewählt werden konnte. 
Wir haben also zu zeigen, daß durch die affine Zuordnung 
P-P', Q-+Q', R-+R f 
jedem andern Punkte ein einziger Bildpunkt zugeordnet wird. 
Das ist zunächst klar für die Punkte auf den Seiten des Dreiecks, 
denn nach Satz 6 ist das Teilverhältnis invariant. Infolgedessen ist auch 
einer Geraden durch P eine ganz bestimmte Gerade durch P', jeder Geraden 
durch Q eine ganz bestimmte Gerade durch Q' zugeordnet. Ein Punkt S, 
der auf keiner Seite von PQR liegt, kann nun mit P und Q stets durch 
je eine einzige Gerade verbunden werden. Daher ist auch S' als Schnitt 
punkt der beiden Bildgeraden durch P' und Q' eindeutig bestimmt, und 
unser Beweis ist fertig, sobald noch hinzugefügt wird, daß die Benutzung 
von R auf denselben Punkt S' führt (Satz von Ceva und seine Umkehrung .