§ 177. W-Normalsysteme besonderer Art. 
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§177. 
W-Normalsysteme, die der Gleichung: 
entsprechen. 
d 2 & 
du dv 
= 0 
Wir untersuchen nun, ob es unter den im Anschluß an den obigen 
Satz konstruierbaren TT-Systemen Normalensysteme gibt. Hierzu ist 
notwendig und hinreichend, daß die beiden Brennebenen aufeinander 
senkrecht stehen, d. h. daß 
SSi + VVi + SSi = 0 
oder nach S. 329, (26) und (26*), daß 
/i*(*0 + /^O) + /s*W = <Pi\v) + cp 2 2 (v) + cp 2 (v) 
ist. Daraus ergibt sich infolge der Gleichungen (29): 
T = — T 
V u> 
und da T v eine Funktion von u allein, T u eine solche von v allein ist, 
so haben wir das Ergebnis: Die gesuchten Translationsflächen 
sind diejenigen, deren erzeugende Kurven gleiche und dem 
Zeichen nach entgegengesetzte konstante Torsionen haben. 
Wir wollen nun beweisen, daß die zu den System strahlen ortho 
gonalen Flächen diejenigen Weingarten sehen Flächen (§ 139, S. 259) 
sind, deren Hauptkrümmungsradien durch die Beziehung: 
k(r 2 — r x ) = sin [&(r 2 -f r x )] (Je == Const.) 
verbunden sind. Hierzu bemerken wir, daß die beiden Brennmäntel der 
Moutardsehen Gleichung: 
entsprechen und daß R = 1 diejenige Lösung derselben ist, welche die 
Verschiebung der Fläche in sich ergibt. Demnach ist der zugehörige 
Wert der charakteristischen Weingartenschen Funktion infolge der 
Gleichungen in § 162, S. 301, durch 
cp = 
V( 
gegeben, wenn K = — das Krümmungsmaß des in Rede stehenden 
Mantels S ist. Bezeichnen wir andrerseits mit 
ds 2 = da 2 -f r 2 dß 2 
das Quadrat des auf die Biegungskurven der Meridiane und Parallel 
kreise bezogenen Linienelements von S, so ist infolge der Bemerkung 
in § 175, S. 328: