48 
CHAPITRE II. 
vraie pour les premières valeurs de a (pour a = o ou pour 
a=i); 2° que, si la proposition est démontrée pour tous les 
nombres y.' inférieurs et un nombre déterminé y, a étant un 
nombre quelconque des classes 1 ou II, elle est encore vraie 
pour le nombre a. 
En effet, supposons ces deux conditions remplies. Je dis que 
la proposition est vraie pour tous les nombres a des classes I et II. 
Car, si la proposition n’est pas vraie pour tous ces nombres, il en 
est pour lesquels elle n’a pas lieu, et, parmi eux, un plus petit 
que tous les autres, y. y ne peut pas être le premier des nombres 
ordinaux, d’après i°. Il y a donc des nombres inférieurs à y et, 
pour tous ces nombres, la propriété est vraie. Donc, d’après 2°, 
elle est vraie pour y, ce qui contredit l’hypothèse. 
Pour démontrer la partie 2° il faudra, dans certaines questions, 
distinguer deux cas, suivant que a sera de première ou de 
deuxième espèce ( , ). 
31. Donnons quelques notions sur les ensembles bien ordonnés 
non dénombrables. Soit E un tel ensemble. Remarquons d’abord 
que tout ensemble bien ordonné dénombrable F est semblable à 
un segment de E, car E, ensemble non dénombrable, ne peut être 
semblable ni à F, ni à un segment de F. Donc, F est semblable à 
un segment de E. 
Je dis que tout nombre des classes I et II désigne le rang d’un 
certain élément de E. Car, soit a un tel nombre. L’ensemble des 
nombres < a constitue un ensemble bien ordonné dénombrable, 
donc est semblable à un certain segment de E; l’élément de E qui 
détermine ce segment a donc pour rang a. 
Supposons que, parmi les éléments de E, il s’en trouve qui déter 
minent un segment non dénombrable. Parmi ces éléments, il en 
existe un de rang inférieur. Soient a cet élément et A son segment. 
Le segment A est non dénombrable, tandis que si a' est de rang 
inférieur à «, le segment A' de a' est dénombrable. D’après ce que 
l’on vient de voir, A a des éléments correspondant à tous les 
nombres des classes I et II et réciproquement, tout élément de A 
(') Quand a désigne un nombre ordinal de première espèce, nous conviendrons 
de noter le nombre précédent par a — i.