4 
werth, welche dort zum ersten Mal behandelt wurden, als wegen der neuen in ihr enthalte 
nen Gesichtspunkte, unter denen hier der Gedanke besonders hervorgehoben werden muss, 
dass die in Rede stehenden Kugelfunktionen durch die Anzahl ihrer in gewissen Intervallen 
gelegenen Nullstellen geradezu charakterisirt sind. Dieser Gedanke ist aber erst von 
Herrn Klein (1881) klar formulirt worden, und zwar wird dieses Oscillationsprincip 
wie wir es nennen wollen, von ihm gleich auf das nicht zerfallende Orthogonalsystem der 
allgemeinen confocalen Flächen zweiten Grades (also auf den Fall der elliptischen Coordina- 
ten) angewandt (Math. Ann. Bd. 18). 
Diese kleine Uebersicht über die Hauptarbeiten auf diesem Gebiete der mathematischen 
Physik müssen wir durch Erwähnung der Arbeiten von Herrn Wangerin schliessen. 
Durch eine von Herrn C. Neumann gestellte Preisaufgabe auf die Randwerthaufgabe für 
eine Rotationscyclide*) geführt, hat er ein Jahr später (1876) den ersten Ansatz zur Be 
handlung der Randwerthaufgabe für solche Körper gegeben, welche von confocalen Cycliden 
der allgemeinsten Art begränzt sind. 
In diesen Arbeiten von Herrn Wangerin erscheinen jene Flächen, welche wir 
Cycliden nennen werden, wohl zum ersten Mal in der Potentialtheorie, und wir wollen 
diese einleitenden Bemerkungen dadurch schliessen, dass wir noch einen kurzen Ueberblick 
über die Entstehung der geometrischen Theorie dieser Flächen geben. 
Der Name Cy elide wurde ursprünglich von Du pin für diejenige Fläche ge 
braucht, deren sämmtliche Krümmungslinien Kreise (bezw. Geraden) sind. Inzwischen 
werden wir, dem Vorgänge von Darboux folgend, mit dem Namen Cyclide eine viel all 
gemeinere Fläche bezeichnen, nämlich eine beliebige Fläche vierter Ordnung, welche den 
Kugelkreis als Doppelcurve besitzt; die besondere Fläche wird demgegenüber als Du pin’sehe 
Cyclide zu bezeichnen sein **). 
Nachdem es sich herausgestellt hatte, dass alle metrische Eigenschaften als Beziehun 
gen zum Kugelkreise aufgefasst werden können, haben sich in den 60er Jahren Laguerre, 
Moutard und Darboux ganz besonders mit der Theorie der Cycliden beschäftigt. Zu 
dieser Zeit wurde das Orthogonalsystem, welches aus allgemeinen confocalen Cycliden be 
steht***), gleichzeitig von Darboux nnd Moutard entdeckt. Diese dreifach orthogonale 
Flächenschaar benutzte Herr Darboux dann um ein System krummliniger Coordinaten zu 
definiren, welche wir als cyclidische Coordinaten bezeichnen wollen. 
*) In den Berliner Monatsberichten (Februar 1878) hat Herr Wangerin ein anderes Orthogonal 
system von Rotationsflächen behandelt, welches noch allgemeiner ist wie das hier in Betracht kommende 
System von Rotationscycliden. Diese Untersuchungen greifen aber, da es sich nicht mehr um Cycliden 
handelt, über die Grenze unserer Betrachtungen hinaus. 
**) Die Dupinschen Cycliden sind gegenüber den allgemeinen Cycliden dadurch specialisirt, dass sie 
vier Doppelpunkte besitzen (von denen höchstens zwei reell sein können). — Vergl. übrigens, wegen der 
folgenden Angaben über Cycliden, insbesondere Darboux, Sur une classe remarquable de courbes et de 
surfaces algébriques, Paris 1878. 
***) Zwei Cycliden werden confocal genannt, wenn sie (wie - zwei confocale Flächen zweiten Grades) 
in dieselbe den Kugelkreis enthaltende Developpable eingeschrieben sind; vergl. übrigens die späteren 
Formeln.