Ebene wirklich ihren adaequaten analytischen Ausdruck in der Verwendung tetracyclischer 
Coordinaten findet. 
Kehren wir jetzt zur Geometrie der reciproken Radien im Raume zurück. Um hier 
gerade so zu verfahren, wie wir es in der Ebene gethan haben, müssten wir den Raum 
von drei Dimensionen auf eine »Kugel« des Raumes von vier Dimensionen stereographisch 
beziehen. Statt dessen können wir aber gleich die folgende Definition der auf dem ge 
nannten Wege zu findenden pentasphärischen Coordinaten an die Spitze stellen: 
Die pentasphärischen Coordinaten aq, # 2 , a? 8 , x 5 eines Raumpunktes 
sind proportional beliebig zu wählenden Vielfachen der Potenzen des be 
treffenden Punktes in Bezug auf fünf Grundkugeln. 
Diese Coordinaten haben dann, wie leicht nachzuweisen ist, folgende Eigenschaften: 
Zwischen den fünf pentasphärischen Coordinaten eines Punktes be 
steht eine homogene quadratische Identität von nicht verschwindender 
Discriminante Q = 0. 
Die homogene Gleichung ersten Grades zwischen pentasphärischen 
Coordinaten stellt eine Kugel, bezw. Ebene dar. 
Die Kugelverwandtschaften des Raumes werden durch diejenigen 
homogenen linearen Substitutionen der pentasphärischen Coordinaten ge 
liefert, welche die Identität Q = 0 ungeändert lassen. 
Nimmt man die Grundkugeln eines pentasphärischen Coordinatensy- 
stems so an, dass sie einander sämmtlich orthogonal schneiden, so lautet 
die Identität: 
«, x] = 0. 
1 
Ueber diesen letzten Satz ist nun noch eine Bemerkung im Sinne des Trägheits 
gesetzes der quadratischen Formen*) hinzuzufügen. Dasselbe lautet bekanntlich 
folgendermassen: 
Wenn eine quadratische Form von n Veränderlichen mit reellen Coefficienten und 
von nicht verschwindender Discriminante durch irgendwelche lineare Substitution mit lauter- 
reellen Coefficienten in ein Aggregat von n Quadraten verwandelt wird (was auf oo viele 
Weisen möglich ist), so hängt der Ueberschuss der in diesem Aggregat auftretenden Vor 
zeichen der einen Art über diejenigen der anderen Art nur von der Natur der Form selbst 
ab, nicht aber von der besonderen Gestalt der linearen Substitution. 
Ersichtlich kann aber die Gleichung einer Kugel im Raume von n Dimensionen 
(bei Zugrundelegung reeller Coordinaten) als ein Aggregat von Quadraten mit n positiven 
und einem negativen Vorzeichen geschrieben werden; und dementsprechend werden wir 
sagen: 
Die zwischen unseren pentasphärischen Coordinaten bestehende Iden- 
: ) Vergi, etwa Baltzer „Elemente der Determinanten“ p. 176.