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in Betracht kommenden Gruppe in sich selbst überführt wird. Demgegenüber pflegt man 
in der projectiven Geometrie von einer unendlich fernen Ebene zu sprechen, indem die 
Gesammtheit der unendlich fernen Punkte, sofern sie durch eine Collineation in’s Endliche 
geworfen wird, dort eine Ebene ausfüllt. Nun gehen aber sämmtliche unendlich ferne 
Punkte bei einer Inversion des Raumes in einen einzigen im Endlichen gelegenen Punkt 
über. Wir werden also in der Geometrie der reciproken Radien von dem unend 
lich fernen Punkt sprechen. Dieser Punkt wird uns fernerhin oft als Punktkugel erschei 
nen , d. h. durch eine lineare Gleichung zwischen den x t ... x 6 gegeben sein. Setzt man 
voraus, dass die zwischen den x bestehende Identität die Gestalt 
S,*f 
o 
habe, so wird diese Gleichung einfach: 
5 /y* 
y _I — o 
TKi ’ 
wo , R„...R 6 die Radien der Grundkugeln des Coordinatensystems bedeuten. 
Jetzt gehen wir weiter indem wir folgende Definition vorausschicken: 
Wir bezeichnen alle diejenigen Flächen als Cycliden, welche sich 
durch eine Gleichung zweiten Grades zwischen pentasphärischen Coordi- 
naten darstellen lassen. 
Man überzeugt sich leicht, dass nach der gewöhnlichen (projectiven) Anschauungs 
weise die hiermit definirten Cycliden im allgemeinen Flächen vierter Ordnung sind (welche 
den Kugelkreis als Doppelcurve besitzen), und dass umgekehrt alle Flächen vierter Ordnung, 
welche den Kugelkreis als Doppelcurve besitzen, Cycliden sind; dass aber auch Flächen 
dritter Ordnung, welche einfach durch den Kugelkreis gehen, sowie alle Flächen zweiter 
Ordnung als Cycliden angesehen werden müssen. Dabei sind, nach unserer jetzigen An 
schauung, diese Flächen dritter Ordnung nichts Anderes als Cycliden, welche durch den 
unendlich fernen Punkt hindurchgehen, und die Flächen zweiter Ordnung Cycliden, welche 
im unendlich fernen Punkte einen Doppelpunkt besitzen. 
Jetzt stellen wir folgende leicht zu begründende Eigenschaften von Cycliden zusammen: 
Cycliden gehen durch Kugelverwandtschaft in Cycliden über. 
Die allgemeine Cyclide besitzt fünf Symmetriekugeln, welche einan 
der orthogonal schneiden. Wenn wir diese Kugeln als Grundkugeln eines 
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Systems pentasphärischer Coordinaten mit der Identität = 0 wäh- 
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len, so lautet die Gleichung der Cyclide: 
xl 
0. 
Die Gleichung 
2, 
a { x: 
k—e t