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zwischen pentasphärischen Coordinaten mit der Identität 
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stellt das allgemeine dreifach orthogonale System confocaler Cycliden dar. 
§ 2. Auseinandersetzung der Weierstrassischen Theorie der Elementartheiler 
in ihrer Beziehung zur Theorie der Cycliden. 
In diesem Paragraphen werden wir uns mit einer Methode beschäftigen, mit deren 
Hülfe man sämmtliche Ausartungen der allgemeinen Cycliden systematisch und erschöpfend 
aufzählen kann. Diese Methode finden wir in der Weier strassischen Theorie der Elemen 
tartheiler *). Letztere Theorie hat, in der Gestalt wie wir sie gebrauchen werden, den 
Zweck, das volle System der Invarianten einer linearen Schaar quadratischer Formen anzu 
geben. Man sieht leicht, dass die Classification der Cycliden, bei Zugrundelegung der Geo 
metrie der reciproken Radien, gerade auf das hiermit bezeichnete algebraische Problem zu 
rückkommen muss. In der That wird eine beliebige Cyclide 0 = 0 ebensowohl durch 
Nullsetzen irgend einer Form der linearen Schaar Aß —O dargestellt (unter A den Parame 
ter der Schaar, unter ß = 0 die zwischen der x 1 . . . x s bestehende Identität verstanden). Nun 
wird aber die Cyclide durch eine beliebige lineare Substitution der pentasphärischen Coordinaten 
im Sinne der Geometrie der reciproken Radien nicht geändert. Um also zu entscheiden, 
ob zwei Cycliden O = 0, O' = 0 kugelverwandt sind oder nicht, müssen wir Zusehen, 
ob die zwei Formenschaaren Aß —O und Aß'—0' durch lineare Substitution in einander 
übergeführt werden können oder nicht. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen 
hierfür liefert uns aber gerade die Wei erstrassische Theorie. 
Wir wollen die Formen ß und O des Näheren folgendermassen schreiben: 
ß = 2j Sfc ßjt Xj x k , 
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o = 2,2* b jk x 3 x k , 
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und die Discriminante von Aß — O in abgekürzter Form durch | A a jk — b jk | bezeichnen.] 
Diese Discriminante setzt Herr Weierstrass gleich Null und bekommt hierdurch 
eine Gleichung fünften Grades in A, deren fünf Wurzeln mit A n A 2 , A 3 , A 4 , A 5 bezeichnet 
werden mögen. Damit nun unsere zwei Formenschaaren durch lineare Substitution in ein 
ander übergeführt werden können, ist jedenfalls nothwendig, dass diese fünf Wurzeln 
in den zwei Fällen auf einander projectiv bezogen werden können. Nehmen 
wir also den allgemeinen Fall, wo die fünf Wurzeln verschieden sind, so werden zwei die 
sem Falle angehörige Cycliden keineswegs immer kugelverwandt sein. Wir wollen solche 
*) Weierstrass: „Ueber bilineare und quadratische Formen“ Berliner Monatsberichte 1868. 
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