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Cycliden darum aber noch nicht von verschiedener Art nennen. Wir werden den Artbe 
griff vielmehr umfassender wählen und unsere erste Unterscheidung zwischen verschiedenen 
Arten von Cycliden darin finden, dass wir die Multiplicitäten in Betracht ziehen, mit denen 
verschiedene der Wurzeln X n X 2 , X 3 , X 4 , X 5 zusammenfallen mögen. Hierdurch bekommen 
wir eine Eintheilung in 7 Classen, welche beziehungsweise durch folgende Multiplicitäten 
der Wurzeln characterisirt sind: 
11111, 2111, 311, 221, 41, 32, 5. 
Diese Classen sind aber noch einer weiteren Zerspaltung fähig, und hierin liegt das Wesent 
liche der W ei erstrassischen Theorie. 
Sei nämlich X< eine v-fache Wurzel, so dass die fünfgliedrige Determinante | X. a Jk —b ]k j 
V-fach verschwindet. Nehmen wir ferner an, es verschwänden alle ersten (viergliedrigen) 
Unterdeterminanten v‘j - fach; alle zweiten Unterdeterminanten v 2 -fach; etc. Dann sieht man 
leicht, dass 
> v* > v 2 > . . . 
bis die v selbst verschwinden. Die Differenzen: 
G == V V 15 6 2 V 1 V 2 5 ß 3 V 2 V 3 5 ••• 
sind also niemals negativ, und es lässt sich ferner beweisen, dass sie den Ungleichheiten ge 
nügen : 
e\ > e* > . . . 
Schreibt man nun: 
I KI = n = n . . .], 
» X 
so nennt Herr Weierstrass die einzelnen hier auftretenden Faktoren (X — 'k^’ n die E1 ementar- 
theiler der Formenschaar Xil — <I>, und seine Theorie besteht darin, dass neben der schon 
erwähnten Projectivität der X. die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
zwei solche Formenschaaren durch lineare Substitution in einander übergeführt werden kön 
nen, die Uebereinstimmung der Multiplicitäten e\ ihrer Elementartheiler ist. 
Greifen wir jetzt auf die Unterscheidung nach der Multiplicität der Wurzeln zurück, 
so werden wir ebensoviele Arten von Cycliden unterscheiden wollen, wie es verschiedene Sy 
steme von Zahlen v und e gibt. Diese Arteintheilung werden wir durch folgendes Schema 
festlegen, in welchem die Ziffern die Werthe der e bedeuten sollen, und die Summe der 
jedesmal zusammengeklammerten Ziffern die zugehörigen v vorstellen sollen*). 
*) So wird z. B. [2(11) 1] den Fall bedeuten, wo es zwei zweifache und eine einfache Wurzel gibt, 
und wo die eine Doppelwurzel zu einem zweifachen, die andere zu zwei einfachen Elementartheilern 
gehört.