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X, (2x 1 x i + 2x î x 3 ) + 2x x x a + x\ 
2x 1 x i + 2x % x. 
( ß = x x x a + x\ + 2x 1 x s , 
j d> = X, (2x 1 x s + xl) + 2x x x a + X 4 (2x x x B ) + x\ ; 
j ß = 2x 1 x 5 + 2x a x 4 + x 2 3 , 
( O == Xj (2x x x s + 2x 3 x 4 + xl) + 2z 1 x i + 2x a x s . 
Diese kanonischen Formen beziehen sich allerdings ohne weiteres nur auf die Fälle in der 
Colonne a) unseres Schemas. Wir bekommen aber die kanonischen Formen für die in den 
anderen Colonnen stehenden Fälle, indem wir in der kanonischen Form des entsprechenden 
Falles a) die Wurzeln X i einfach in geeigneter Weise zusammenfallen lassen. So ist z. B. 
die kanonische Form für den Fall I d): 
ß = x\+ x 2 2 + x\ + xl+ x\, 
(1) = Xjtf'j + \x\ + \x\ + \x\ + \x\. 
Dass diese kanonischen Formen wirklich Formenschaaren liefern, welche zu dem be 
treffenden Falle gehören, sieht man sofort, wenn man die verschiedenen Discriminanten hin 
schreibt. Die Leistung von Herrn Weierstrass liegt nun darin, dass er bewiesen hat, 
dass jedes Formenpaar ß, <D auf die eine oder die andere dieser kanonischen Formen 
durch lineare Substitution gebracht werden kann*). 
In jeder Kategorie I — VII sind also die Fälle &), c), d) . . . als Specialfälle von a) 
anzusehen. Es sind aber auch die Fälle II a), III o), . . . (und folglich die ganzen Kate 
gorien II, III, . . .) als Specialfälle von I a) anzusehen; wie durch einen besonderen Grenz 
übergang (jK) klar wird. Um diesen Grenzübergang auseinanderzusetzen, müssen wir als 
Ausgangspunkt eine etwas allgemeinere kanonische Form für I a) wählen wie die Weier- 
strassische, nämlich: 
A) 
Um von hier aus zur Kategorie II überzugehen, machen wir die Substitution: 
X 2 ~ Xj + s, x 2 ~ x x + zx 2 , 
wo s eine unendlich kleine Grösse erster Ordnung sein soll. Vernachlässigen wir unendlich 
kleine Grössen zweiter Ordnung, so geht hierdurch das Formenpaar A) in folgendes über: 
*) Zugleich gelingt die Transformation in den Fällen a) im Wesentlichen nur auf eine Weise. In 
seiner Dissertation hat Herr Klein die Frage untersucht, wie oft die Transformation in den Fällen &) c) ... 
bewerkstelligt werden kann.