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Wenn wir nun zwei der e. einander gleich setzen, werden alle Flächen der Schaar
zum Falle I&) gehören, so dass wir sagen können, dass die Schaar selbst zu diesem Falle
gehört. Auf diese Weise können wir durch blosses Gleichsetzen einiger e, in der Gleichung
der allgemeinen Schaar zu Schaaren übergehen, welche zu jedem der Fälle der Kategorie I
gehören. In allen diesen Fällen können wir natürlich sämmtliche a { gleich 1 nehmen, wenn
wir wollen. *
Es giebt aber auch Cyclidenschaaren, welche zu den Kategorien II — VII gehören
und welche durch besondere Grenzübergänge (K) aus der allgemeinen Schaar abgeleitet werden
können*). Diese Grenzübergänge sind genau dieselben, welche wir soeben für die einzel
nen Cycliden besprochen haben, nur dass wir jetzt an Stelle von \, \, ... X 5 die Buch
staben e n e s , ... e 5 setzen müssen. Die confocalen Cyclidenschaaren II a) und III a), welche
wir auf diese Weise finden, lauten folgendermassen:
2x l x i + x\ + x\ +
+ X* = 0
II tt)
III a)
Ganz ähnlich lauten die Gleichungen der Cyclidenschaaren IV a) — VII a). Wir bekommen
dann weiter die verschiedenen Fälle Z>), c), . . . in jeder Kategorie durch blosse Gleich
setzung verschiedener e { . —
Nun fragen wir uns: inwiefern hängt eine jede dieser confocalen Cycli
denschaaren von den Werthen der Constanten e { wesentlich ab?
Um diese Frage zu beantworten, stellen wir zunächst folgenden wichtigen Satz auf:
Wenn man statt der Constanten e { des allgemeinen confocalen Cycli-
densystems irgend welche lineare Funktionen f
J & 7^+8
substituirt, so ändert
sich das Flächensystem nicht, nur der Parameterwerth wird geändert, der
den einzelnen Flächen beigelegt wird.
Dieser Satz lässt sich sofort durch einfache Umrechnung beweisen, indem wir in
fi) — 0 die Substitution machen:
und die entstehende Gleichung vermöge Q = 0 reduciren.
*) Auf die Herstellung aller dieser Cyclidenschaaren nach einem gleichförmigen algebraischen Gesetze
geheich der Kürze halber nicht ein; vergl. dazu die bereits genannte Abhandlung von Herrn Gino Loria.
