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Der soeben ausgesprochene Satz gilt aber im Sinne der Geometrie der reci- 
proken Radien auch für die Kategorien II — VII, denn obwohl in einem solchen Falle 
nach der oben geschriebenen Substitution des X und der e { das Gleichungssystem ß = 0, 
<I) = 0 nicht mehr absolut ungeändert bleibt, nimmt es seine ursprüngliche Form doch nach 
einer linearen Substitution der x i wieder an; die confocale Flächenschaar ist also bei unse 
rer Substitution im Sinne der Geometrie der reciproken Radien nicht geändert worden*). 
Wir kommen also auf den Satz: 
Im Sinne der Geometrie der reciproken Radien hängt die einzelne 
confocale Cyclidenschaar einer beliebigen unserer 26 Arten nicht von den 
e. selbst, sondern bloss von den Doppelverhältnissen der e i ab. 
Nun wird man aber in der mathematischen Physik nur solche Cyclidenschaaren als 
identisch ansehen wollen, welche mit einander reell kugelverwandt sind. Andererseits aber 
brauchen wir nur solche Schaaren zu betrachten, welche durchweg aus reellen Flächen be 
stehen ; d. h. aus Flächen, deren Gleichungen in Cartesischen Coordinaten mit lauter reellen 
Coefficienten geschrieben werden können, (welche aber desshalb noch nicht alle reelle Punkte 
zu besitzen brauchen). Um auf unsere späteren physikalischen Fragen anwendbar zu sein, 
bedarf unsere Aufzählung also einer Modification in den hiermit bezeichneten zwei Hinsichten. 
Nun stellt sich zunächst heraus, dass, sofern wir nur die reellen Cvcliden der ver 
schiedenen Schaaren betrachten wollen, wir uns auf reelle Werthe des Parameters A be 
schränken können, und dass dann die e i , sofern sie nicht reell sind, einander paarweise con- 
jugirt maginär sein müssen. Wenn man nun das Trägheitsgesetz (S. 8) an wendet, findet 
man (K) folgendes Resultat : 
Es gibt keine reellen Cvcliden der Kategorien IV — VII. In den Ka 
tegorien II und III sind alle e { für reelle Cycliden nothwendig reell. Da 
gegen spaltet sich die Kategorie I in zwei neue Kategorien I' und I", je 
nachdem alle e. reell sind, oder nur drei von ihnen reell und die anderen 
zwei einander conjugirt imaginär. 
Das Weierstrassisclie kanonische Coordinatensystem 1' besteht aus 
vier eintheiligen und einer nulltheiligen reellen Grundkugel*, das Coordi 
natensystem I" aus drei eintheiligen reellen und zwei imaginären Grund 
kugeln; die Coordinatensysteme II und III aus drei eintheiligen reellen 
Grundkugeln, und zwei reellen Punkt-Grundkugeln. 
Uebrigens sind diese kanonischen Coordinatensysteme gerade diejenigen, welche wir 
auf S. 9 angegeben haben, bez. sind mit den dort angegebenen kugelverwandt. 
*) Allerdings tritt eine Ausnahme ein, wenn durch die lineare Substitution der e { eins derselben 
ins Unendliche geworfen wird, welches zu einem mehrfachen Elementartheiler gehört, denn dann müssten 
die Xi, um das im Texte bezeichnete Resultat zu erzielen, einer linearen Substitution mit unendlichen 
Coefficienten unterworfen werden. Es bedarf also hier stets eines besonderen Grenzüberganges.