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Singularität, nämlich im Falle einer Doppelwurzel (2) einen gewöhnlichen 
Doppelpunkt, in allen anderen Fällen eine höhere Singularität (einen bi- 
planaren Punkt etc.). 
§ 5. Allgemeine cyclidische Coordinaten und deren Ausartungen. 
Denken wir uns eine Cyclidenschaar I ' a) oder I" a) zugrundegelegt, so gehen durch 
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jeden Raumpunkt drei Flächen der Schaar, denn die Gleichung ]>]. ^ = 0 ist, unter 
Berücksichtigung der Identität 2 x] = 0, vom dritten Grade in X. Wir können also die 
Parameterwerthe der drei Cycliden, welche durch einen Punkt hindurchgehen, d. h. die 
Wurzeln dieser cubischen Gleichung, für den Punkt , x ai x 3J x 4 , x 5 ) als cyclidische 
Coordinaten des Punktes ansehen. 
Nun haben wir aber ferner im vorigen Paragraphen schon bemerkt, dass jede der 
drei eigentlichen Schaaren p, v, p den reellen Raum genau einmal erfüllt. Daraus schliessen 
wir, dass die cyclidischen Coordinaten eines reellen Raumpunktes reell sein werden, und be 
ziehungsweise in den Intervallen p, v, p liegen müssen. Wir werden sie dementsprechend 
schlechtweg mit p, v, p bezeichnen. 
Wir haben jetzt die pentasphärischen Coordinaten eines Punktes durch die cyclidi 
schen auszudrücken. Ich will die betreffenden Formeln hier nicht begründen, sondern ein 
fach mittheilen. Sei : 
f(X) = ß-e,)ß-e,) . . . (k-ej, 
so können wir die Formeln folgendermassen schreiben: 
<zx. 
(¡x—AKv—<Q(p— 
" f'W 
wo o ein Proportionalitätsfaktor ist, welcher sich folgendermassen bestimmen lässt: 
1/a = 2. e { X*. 
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Auf ganz dieselbe Weise können die dreifach orthogonalen Cyclidenschaaren Ila) 
und III d) zur Definition specieller cyclidischer Coordinaten benutzt werden, welche dann 
mit den pentasphärischen Coordinaten durch Formeln verbunden sind, die aus den soeben 
gegebenen Formeln des allgemeinen Falles durch die Grenzübergänge von S. 14—15 abgeleitet 
werden können. 
Anders ist es zunächst mit den übrigen Cyclidenschaaren, welche wir im vorigen 
Paragraphen aufgezählt haben, indem diese ja den Raum nur zwei- oder gar nur einfach 
ausfüllen, und also nicht ohne Weiteres zur Definition krummliniger Coordinaten gebraucht 
werden können. Wenn wir inzwischen den Grenzübergang von den allgemeinen Fällen I a),