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II a), III a) za den in Rede stehenden weiter ausgearteten Fällen b), c), . . . näher be 
trachten, sehen wir, dass dennoch in jedem Falle indirect krummlinige Coordinaten defi- 
nirt werden können. Während nämlich beim Grenzübergange eine oder zwei der ursprüng 
lichen Flächenschaaren ja, v, p in die Flächenschaaren übergehen, welche durch die kano 
nische Gleichungsform dargestellt werden, gehen die anderen (oder die andere) Flächen 
schaar nicht einfach verloren, sondern arten in ganz bestimmter Weise in ein anderes Flä 
chensystem aus, das nun mit der kanonischen Gleichung genommen, nach wie vor ein drei 
faches Orthogonalsystem definirt, welches sich nur insofern von dem Orthogonalsystem des 
allgemeinen Falles unterscheidet, als es nicht durch eine einzige Gleichung darstellbar ist. 
Fassen wir, um dies näher zu erläutern, zunächst den Fall ins Auge, wo zwei ein 
fache Punkte e n e j in einen Doppelpunkt (11) zusammenrücken. Ehe die Punkte zusam 
mengefallen sind, wird es eine eigentliche Flächenschaar geben, die entweder dem ver 
schwindenden Intervalle selbst entspricht oder doch einem Intervalle, welches an dieses ver 
schwindende Intervall angrenzt. Im ersten Falle sehen wir ohne Weiteres, dass die Para- 
meterwerthe, welche den Flächen der in Betracht kommenden Flächenschaar entsprechen, 
sich in der Grenze in dem zweifachen Punkte selbst zusammendrängen; im zweiten Falle 
(d. h. wo im verschwindenden Intervalle eine nulltheilige Flächenschaar liegt) wird Aehnli- 
ches statt finden, nur werden sich jetzt die Parameterwerthe der in Betracht kommenden 
reellen Schaar unmittelbar ausserhalb des verschwindenden Intervalles zusammenhäufen. 
Beidemal ist also der Parameter X nicht mehr zur Festlegung der einzelnen Flächen der 
Schaar zu gebrauchen. Wir müssen vielmehr zu diesem Zwecke einen neuen Parameter X' 
einführen, indem wir, unter s eine unendlich kleine Grösse verstanden, folgenden Grenz 
übergang machen: 
6j = 6 { + £, X = e i + s X. 
Hierdurch geht aber die allgemeine Gleichung I a), oder II a), bez. III a) über in: 
und dies also ist die Flächenschaar, welche bei unmittelbarer Specialisirung der kanonischen 
Gleichungsform in der Nähe des Punktes e t verloren gegangen war. Diese Gleichung stellt 
aber offenbar einen Kugelbüschel dar, welcher, wenn die Kugeln x i und x } beide eintheilig 
sind, einen einzeiligen Grundkreis besitzt, wenn aber eine von ihnen nulltheilig ist, einen 
nulltheiligen Grundkreis *). So bekommen wir z. B. als Ergänzung des zweifach orthogona 
len Systems von Rotationscycliden I'b x ) den Büschel ihrer Meridianebenen; als Ergänzung 
*) Jenachdem der erste oder der zweite dieser Fälle vorliegt, haben wir es bei der zutretenden 
Schaar geradezu mit dem Falle I'c 2 ) oder I c x ) des allgemeinen Schemas zu thun, nicht nur was die 
Flächenschaar als solche angeht, sondern auch mit Rücksicht auf die Einführung des Parameters 1 bezw. X, 
der zur Darstellung der einzelnen Flächen der Schaar dient. Es erscheint nur die Lage der Punkte ^ 
heim Gebrauch von X insofern specialisirt, als die zwei einfachen Wurzeln den Parameterwerthen 0, 1, 
die dreifache dem Parameterwerthe oo zugewiesen sind.