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der Kegel zweiten Grades 1' 6 3 ) den Büschel der um ihre gemeinsame Spitze als Mittelpunkt 
herumgelegten concentrischen Kugeln. 
Den so gewonnenen Parameter X' (welchen wir übrigens je nach den Umständen als 
¡x', v' oder p' bezeichnen werden) wollen wir nun neben den beiden von der kanonischen 
Gleichungsform unmittelbar gelieferten Parametern als dritte krummlinige Coordinate ein 
führen (wobei zu bemerken ist ? dass jedem Werthe von X' zwei Kugeln des Büschels ent 
sprechen, die zusammengenommen aus einer Cyclide des allgemeinen Palles entstanden sind). 
Auf diese Weise bekommen wir zunächst in den Fällen 16), Id), II6), III6) wohl- 
definirte krummlinige Coordinatensysteme. 
In ganz ähnlicher Weise verfahren wir jetzt, wenn ein dreifacher Punkt (21) oder 
ein vierfacher Punkt (31) auftritt. 
Fällt nämlich zunächst ein Doppelpunkt (2) e, mit einem einfachen Punkt e 3 zusam 
men , so machen wir in II et) die Substitution : 
X 6, -j- £ -(- £“ A 
e 3 =. e , + s 
und nehmen dann s unendlich klein. Hierdurch erhalten wir aus II a: 
< + f = °, 
d. h. eine Gleichung, welche einen Büschel sich in einem Punkte berührender Kugeln dar 
stellt (d. h. die Inverse eines Systems von Parallelebenen). 
Ganz entsprechend verfahren wir, wenn ein dreifacher Punkt (3) e, mit einem ein 
fachen Punkt e i zusammenfällt. Wir setzen dann: 
X — e, + s + e s k' 
e i = e, + s 
und bekommen aus III a: 
so dass auch hier die ergänzende Flächenschaar wieder ein Büschel sich in einem Punkte 
berührender Kugeln ist. 
Beidemal führen wir natürlich den Parameter k' als dritte krummlinige Coordinate ein. 
Hiermit haben wir nun alle Fälle discutirt, bei welchen solche mehrfache Wurzeln 
auftreten, die zu zwei verschiedenen Elementartheilern gehören; und wir haben gesehen, 
dass in der Nähe jedes solchen Punktes durch Grenzübergang ein bestimmter Kugelbüschel 
als Ergänzung des sonst unvollständigen Orthogonalsystems gefunden werden kann. Wenn 
*) Dies ist von anderer Seite wieder die Gleichung einer in unserem kanonischen Schema an spä 
terer Stelle aufgeführten Flächenschaar, nämlich der Flächenschaar IIf), wobei insbesondere e, = oo } 
e s = 0 gesetzt ist. (Vergl. Bemerkung S. 17).