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§ 2. Allgemeine Definition der L am eschen Gleichung. Einführung homogener 
Variablen. 
Die Differentialgleichung, welche von Lame selbst in die Analysis eingeführt ist, 
und dementsprechend in engerem Sinne seinen Namen trägt, lässt sich nach dem Voraufge 
henden sehr einfach charakterisiren. Wir können sie nämlich in folgender Gestalt schreiben *) : 
Ax + B 
i_ + 
(~L 
\x—e, 
4:(x-eJ(x-eJ(x—ey V ' 
x—e 9 x—e,J dx 
Diese Gleichung hat als singuläre Stellen die Punkte e n e 2 , e 3 , oo, von denen jeder der drei 
1 + -L 4 A 
ersten die Exponenten 0, i besitzt, während der Punkt oo die Exponenten : 
aufweist. Die Constanten A und B dieser Gleichung werden nun von Lamé noch auf 
ganz bestimmte Weise ausgewählt. Inzwischen werden wir diese Specialisirung 
hier fallen lassen, und führen damit also eine erste Verallgemeinerung für die Bedeu 
tung des Wortes »Lamésehe Gleichung« ein. 
In der mitgetheilten Gleichung lassen wir jetzt zwei der singulären Punkte e n e 2 , e 3 
zusammenfallen. Man sieht dann mit leichter Mühe, dass die Exponenten des so entstehen 
den singulären Punktes nicht mehr die einfachen Werthe 0, \ haben, sondern allgemeinere 
Werthe, welche von den Constanten A und B der Differentialgleichung abhängen. Nun 
bemerkten wir aber schon, dass die Exponenten des Punktes oo ebenfalls von der Constante 
A abhängen, und es liegt hiernach nahe zu vermuthen, dass die gewöhnliche Cainé 
sche Gleichung aus einer Gleichung abgeleitet werden kann, welche fünf 
singuläre Punkte mit den Exponenten 0, % im Endlichen, im Unendlichen 
aber nur einen uneigentlich singulären Punkt besitzt, nämlich so, dass 
wir zwei dieser Punkte im Unendlichen zusammenfallen lassen. Da dies in 
der That der Fall ist, wie wir im folgenden Paragraphen sehen werden, werden wir den 
Namen Lamesche Gleichung auf diese allgemeinere Gleichung mit fünf singulären Punk 
ten im Endlichen übertragen. Indem wir nun diese Gleichung noch in ähnlicher Weise 
erweitern, wie dies Heine gegenüber der ursprünglichen Laméschen Gleichung gethan 
hat, indem wir also statt der fünf singulären Punkte mit den Exponenten 0, \ deren be 
liebig viele zulassen, können wir schliesslich folgende allgemeine Definition aussprechen : 
*) Dies ist allerdings nicht genau die Gestalt, in welcher diese Gleichung zumeist in der Literatur 
auftritt. Um von unserer Form zu der gewöhnlich gebrauchten überzugehen, müssen wir einen der Punkte 
e x , e 2 , e 3 in den Nullpunkt legen, und dann die quadratische Transformation x ^ x 2 machen. Diese Trans 
formation verwischt aber den wahren Charakter der Differentialgleichung, auf den es weiterhin ankommt, 
insofern sie einen der drei gleichberechtigten singulären Punkte zu einem nicht singulären Punkte macht, 
und die anderen zwei verdoppelt (ganz ähnlich wie dies mit den Verzweigungspunkten bei der Legendre 
schen Normalform der elliptischen Integrale geschieht).