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d 2 f d 2 F 
~äx\~ 
d 2 f 
dx? 
da, • dx 0 
d 2 F 
dx« • dx„ 
+ 
d 2 f 
n(n— 1) 
dx 2 
(iix” 4 + bx\ 5 x 2 -\ hmx\ 4 ) • F 7 . 
Der hier linkerhand auftretende Differentialausdruck ist die in der Formentheorie wohlbe 
kannte zweite Ueberschiebung der Formen f und F (unter f natürlich die Form 
(x t — e 1 x 2 ) (x 1 ~e 2 x 2 ) ... fo— e n x 2 ) verstanden). Wir wollen sie der Kürze halber mit (/', F) 2 
bezeichnen. Wenn wir nun noch durch tp„_ 4 eine beliebige ganze rationale binäre Form 
(n — 4)_ter Dimension bezeichnen, können wir die vorstehende Differentialgleichung offenbar 
in folgender eleganter Weise schreiben: 
5) 
(/» 1 -^1^)2 ?n-4 • Fi-n , 
und eben dieses ist die Kl ein sehe Normalform *). 
Da wir nun im Folgenden den Werth x = 00 in keiner Weise werden auszeichnen 
wollen, wären es eigentlich die L am ó sehen Formen, welche wir unseren weiteren Ent 
wickelungen zu Grunde legen sollten. Trotzdem werden wir, um nicht zu sehr von der ge 
wöhnlichen Darstellungsweise abzuweichen, im Folgenden an den L am eschen Funktionen 
festhalten. Da müssten wir denn eigentlich bei jedem Schritte den Werth x — co für sich 
betrachten, und jeden Satz mit einem auf diesen Werth bezüglichen Supplementarsatz beglei 
ten. Indessen werden wir diese ergänzenden Betrachtungen zumeist nicht durchführen, son 
dern dem Leser überlassen, indem wir voraussetzen, dass die Intervalle der a>Axe, welche 
wir später zu betrachten haben, den Punkt x = 00 nicht enthalten, was man in jedem Falle 
durch eine geschickte Wahl der Grösse x erreichen kann. 
Ehe wir diesen Paragraphen schliessen, wollen wir noch kurz den einfachsten Fall 
unserer L amé sehen Gleichung besprechen, nämlich den Fall, wo n = 4 ist. Hier bemerken 
wir zunächst, dass der Unterschied zwischen L amé sehen Funktionen und Formen in Weg 
fall kommt (einfach weil n — 4 = 0), — dann aber zweitens, dass die Laméschen Funk 
tionen dieses Falles in einfachster Weise durch elliptische Integrale ausgedrückt werden 
können. Gleichung 3) oder 4) S. 33 nimmt nämlich hier die Form an: 
= ay 
wo t das elliptische Integral ist, 
-/■ 
dx 
2\l{x- ej (x - e 2 ) {x - e 3 ) (x - e t ) 
und wir finden als deren allgemeine Lösung: 
y — L sin (\J —a •t) + M cos (\J- 
t). 
*) Man vergl. auch die Pick sehe Normalform gewisser Differentialgleichungen; Math. Ann. Bd. 38 
S. 139—143.